Der Dichteoperator (auch statistischer Operator) ist ein linearer Operator, der den Zustand eines Ensembles von physikalischen Systemen, in der Quantenmechanik auch den Zustand nur eines einzigen Systems beschreibt. Diese Beschreibung ist in physikalischer Hinsicht vollständig. Das heißt, mit Hilfe des Dichteoperators lässt sich für jede am System bzw. Ensemble mögliche Messung der Erwartungswert vorhersagen.Auch wenn die Einzelmesswerte streuen, wird ihre Streubreite ebenso wie alle weiteren Charakteristika ihrer Verteilung durch den Dichteoperator vorhergesagt. Befindet sich das System in einem Zustandsgemisch, gibt der Dichteoperator insbesondere an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein aus dem Ensemble herausgegriffenes System in einem bestimmten reinen Zustand befindet. Wird der Operator (mit Bezug auf eine Basis) als Matrix dargestellt, so spricht man von der Dichtematrix (bzw. der statistischen Matrix); diese wird in der Quantenstatistik viel verwendet.
Der Dichteoperator wurde ursprünglich im Rahmen der klassischen Physik von George Gabriel Stokes für den Polarisationszustand eines Lichtstrahls entwickelt (Stokes-Parameter). In die Quantenmechanik wurde er 1927 von Lew Landau und John von Neumann eingeführt und dann ausführlich von Paul Dirac in Principles of Quantum Mechanics (1930) und von John von Neumann in Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932) dargestellt.
Konstruktion Dichteoperator für einen reinen quantenmechanischen Zustand Für einen reinen Zustand mit (normiertem) Zustandsvektor heißt der Dichteoperator (als dyadisches Produkt in Bra-Ket-Schreibweise) . Dieser Operator bleibt ungeändert, wenn man denselben Zustand durch einen Zustandsvektor beschrieben hätte. Daher besteht, anders als beim Zustandsvektor, eine in beiden Richtungen eindeutige Zuordnung zwischen dem physikalischen Zustand und seinem Dichteoperator.
Dieser Operator ist ein Projektionsoperator , denn angewendet auf einen beliebigen Zustandsvektor , projiziert er diesen auf den durch bestimmten 1-dimensionalen Unterraum des Hilbertraums: , wobei der Zahlenfaktor das Skalarprodukt beider Vektoren ist. ist hermitesch und idempotent (d. h. ). Seine Eigenwerte sind 1 (für den ket-Vektor des reinen Zustands und alle seine Vielfachen) und Null (für alle dazu orthogonalen Vektoren).
Für einen kohärenten, also reinen Überlagerungszustand
lässt sich der Dichteoperator durch die beiden überlagerten Zustände ausdrücken (mit der komplexen Konjugation und ): . Wenn und orthogonal sind und als Basisvektoren genommen werden, dann ist durch die Matrix
dargestellt. Dass die Überlagerung in Form einer Linearkombination eine kohärente Überlagerung ist, drückt sich in den Nichtdiagonalelementen aus. Diese ändern sich, wenn man die Koeffizienten mit verschiedenen Phasenfaktoren multipliziert, so dass sich ihre relative Phase ändert. Auch der Überlagerungszustand wird dann ein anderer, obwohl die Anteile der beiden Basiszustände gleich bleiben.
Dieselben nichtdiagonalen Matrixelemente machen auch den Erwartungswert eines beliebigen Operators und damit alle Messergebnisse von der relativen Phase abhängig: . Die nichtdiagonalen Matrixelemente bilden dort die Interferenzterme.
Dichteoperator für ein Zustandsgemisch Ein Ensemble gleicher Systeme, die sich in verschiedenen reinen Zuständen befinden, ist ein Zustandsgemisch. Es wird durch einen Dichteoperator
beschrieben. In Bra-Ket-Schreibweise: .
Die Gewichte sind reelle Zahlen mit und . Als reelle Linearkombination von hermiteschen Projektionsoperatoren ist auch der Dichteoperator hermitesch.
Die komplexen Phasen der Zustände haben keinen Einfluss auf den Dichteoperator. Dementsprechend ist für einen beliebigen Operator der Erwartungswert die Summe der Erwartungswerte für die einzelnen Zustände, jeweils gewichtet mit der relativen Häufigkeit bei der Präparation des Gemischs.
Die reinen Zustände sind inkohärent überlagert, es gibt keine Interferenzterme zwischen den verschiedenen überlagerten Zuständen.
Für das folgende wird angenommen, dass die Zustände orthogonal sind. Dann ist Gleichung (1) die Spektraldarstellung des Dichteoperators, die sind seine Eigenzustände und die die Eigenwerte dazu.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Messung ein einzelnes System im Zustand gefunden wird. Denn der Operator für diese Messung ist und der Erwartungswert .
In der Basis seiner Eigenzustände hat der Dichteoperator eine Diagonalmatrix mit den Gewichten auf der Hauptdiagonale. Weil für alle gilt, ist , wobei das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn genau ein und alle anderen , wenn also ein reiner Zustand vorliegt.
Sind alle einander gleich, gilt wegen der Normierung mit als der Anzahl verschiedener Zustände, die zusammengemischt wurden und eine Basis des betreffenden Teilraums des Zustandsraums des Systems bilden. In diesem Fall der vollständigen Entartung ist die Dichtematrix das -Fache der Einheitsmatrix, so dass ein Zustandsgemisch aus anderen Basiszuständen dieses Teilraums die gleiche Dichtematrix haben und daher physikalisch dasselbe Zustandsgemisch beschreiben würde. Es ist daher in seinem solchen Gemisch unmöglich zu ermitteln, aus welchen Basiszuständen das Gemisch zusammengesetzt ist.
Wurde zum Beispiel ein Gemisch nur aus zwei Basiszuständen und zusammengesetzt, so ist der Dichteoperator im Allgemeinen
mit sind dabei die Gewichte oder relativen Häufigkeiten.
Die Dichtematrix dieses Zustandsgemischs ist durch die Diagonalmatrix
gegeben. Die inkohärente Überlagerung von Systemen drückt sich im Verschwinden der Nichtdiagonalelemente aus, wenn (wie hier) die Systeme jeweils einen der Basiszustände besetzen. In einer anderen Basis, deren Zustände dann kohärente Überlagerungen der ursprünglichen Basiszustände sind, hat derselbe Dichteoperator im Allgemeinen auch Elemente außerhalb der Hauptdiagonale. Ausgenommen ist nur der Fall vollständiger Entartung, bei dem alle Basiszustände mit gleicher Häufigkeit vertreten sind.
Im entgegengesetzten Fall sind alle Gewichte voneinander verschieden. Dann liegen die Eigenzustände eindeutig fest, und es lässt sich (prinzipiell) durch Messungen eindeutig erkennen, welche Basiszustände nach Gleichung (1) das Zustandsgemisch bilden. Dann ist auch die aus der klassischen Physik geläufige Vorstellung zulässig, dass ein aus dem Ensemble herausgegriffenes Objekt mit Sicherheit genau einen dieser Basiszustände einnimmt und nicht etwa in einem Zustand ihrer kohärenten Überlagerung ist.Siehe Ref. Fano 1957, Kap. 3(e). Es gilt auch bei jedem hermiteschen Operator mit nicht-entarteten Eigenwerten, dass die Basis aus Eigenvektoren eindeutig bestimmt ist. S. Claude Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik. de Gruyter, 1999, ISBN 3-11-016458-2., Kap. 2.4.1 Insofern verhält sich ein solches Zustandsgemisch wie ein Gemisch vieler gleicher Systeme in der alltäglichen Anschauung oder der klassischen Physik. Allerdings muss man in der Quantenmechanik oft auch ein einzelnes System als Zustandsgemisch beschreiben. Dies ist z. B. notwendig, wenn ein System isoliert betrachtet werden soll, nachdem es mit einem anderen System in Wechselwirkung war und das aus beiden Systemen zusammengesetzte Gesamtsystem dabei in einen reinen, aber verschränkten Zustand übergegangen ist. Dieser Fall tritt bei jeder quantenmechanischen Messung ein.
Dichteoperator für ein kanonisches Ensemble Der Dichteoperator für das kanonische Ensemble ist:
In der Eigenbasis des Hamiltonoperators nimmt die Form (1) an. Analog erhält man für den Dichteoperator des großkanonischen Ensembles
Zustandsgemisch bei einem einzelnen System Ein Zustandsgemisch liegt auch bei nur einem einzigen System vor, wenn es vor einer Messung mit einem zweiten System zu einem Gesamtsystem verschränkt war, so dass bestimmte reine Zustände des ersten Systems mit bestimmten reinen Zuständen des zweiten Systems vollständig korreliert waren. Wenn dann durch diese Messung, die gar nicht auf das erste System einwirkt, der Zustand des zweiten Systems zu einem bestimmten reinen Zustand reduziert wurde, der nicht als solcher zu den korrelierten Zuständen gehört hatte, muss anschließend das erste System als Zustandsgemisch behandelt werden.
Dieser Fall ist häufig, zum Beispiel wenn ein Atom ein anderes stößt, dabei mit gewisser Wahrscheinlichkeit eine Anregung verursacht und dann unter einem bestimmten Ablenkwinkel auf einen Detektor trifft. Das getroffene Atom befindet sich danach in einem Zustandsgemisch in Form einer inkohärenten Überlagerung von angeregtem Zustand und Grundzustand. Wenn man durch eine Messung am getroffenen Atom die Richtung seines Rückstoßes festgestellt hätte, würde sich umgekehrt das stoßende Atom nun in einem Zustandsgemisch befinden, gebildet aus einer inkohärenten Überlagerung der gestreuten Wellen verschiedener Energie.
Zur weiteren Beschreibung des einen Teilsystems benutzt man den Reduzierten Dichteoperator, der sich aus dem vollen Dichteoperator des ursprünglichen Gesamtsystems durch partielle Spurbildung über das andere Teilsystem ergibt und danach keine Informationen über dieses mehr enthält. Diese durch Verschränkung vermittelte Veränderung des Zustands eines Systems, ohne dass es Objekt einer physikalischen Einwirkung geworden wäre, stellt einen der Aspekte der Quantenphysik dar, die für die Anschauung am schwierigsten sind (siehe z. B. Schrödingers Katze, Quantenverschränkung, EPR-Paradoxon, Quantenradierer).
Messwerte Für jeden einzelnen Bestandteil des Zustandsgemischs ist der Mittelwert der Messergebnisse einer physikalischen Größe gegeben durch den Erwartungswert
Darin ist der zu gehörige Operator (s. Quantenmechanik, Observable).
Da das Ensemble ein Gemisch von Systemen in den verschiedenen beteiligten Zuständen ist, ist der Mittelwert aller Messungen an den einzelnen Systemen die gewichtete Summe der einzelnen Erwartungswerte:
Dies ist gleich der Spur
wie man mit Hilfe eines vollständigen Systems von orthonormierten Basisvektoren sehen kann: Wegen (Einheitsoperator) ist
Sind die gerade die Eigenzustände zur Observable (d. h. mit den Eigenwerten ), dann gilt weiter
Darin ist das über das Ensemble gewichtete Mittel für die Wahrscheinlichkeit, ein herausgegriffenes System im Eigenzustand anzutreffen. ist also auch die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Messung den Eigenwert als Ergebnis zu erhalten. Charakteristisch ist, dass durch eine inkohärente Summe gegeben wird, die von den relativen Phasen der am Ensemble beteiligten Zustände unabhängig ist.
Umgekehrt lässt sich der Operator durch die aus seinen Eigenwerten und den Dichteoperatoren der Eigenzustände gebildete Summe darstellen:
Beispiel: Dichteoperator und Dichtematrix für Elektronen-Polarisation Die Dichtematrix ist die Matrix, mit der der Operator in Bezug auf eine orthonormierte Basis dargestellt werden kann:
Basiszustände Im Folgenden bezeichnet das Zeichen „“, dass ein Bra, Ket oder ein Operator bezüglich einer Basis dargestellt wird (vergleiche auch Bra-Ket#Darstellung). Die Zustände „Spin auf“ (bezgl. z-Achse) und „Spin ab“ werden als ket-Vektoren durch Spalten dargestellt. Die zugehörigen bra-Vektoren sind dann Zeilenvektoren: bzw. . Die Projektionsoperatoren (durch Matrizenmultiplikation):
Dies sind auch die Dichtematrizen für vollständig in - bzw. -Richtung polarisierte Elektronen.
Polarisation in z-Richtung Die -Komponente des Spins hat die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix Für das vorausgesagte Messergebnis ergibt sich für das Ensemble richtig
Für das Ensemble ergibt sich
Andere Polarisationsrichtung Die Zustände von in - bzw. -Richtung polarisierten Elektronen sind
Die Projektionsoperatoren dazu haben (in der Basis der -Eigenzustände!) die Matrizen