mini|Schiefer Pyramidenstumpf mini|Netz des Pyramidenstumpfes einer regelmäßigen quadratischen Pyramide. Das Netz besteht aus einer jeweils quadratischen Grundfläche und Deckfläche sowie einer Mantelfläche aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen. Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.
Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.
Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:
Dabei stehen für den Flächeninhalt der Grundfläche, für den Flächeninhalt der Deckfläche und für die Höhe des Pyramidenstumpfes.
Für die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Je schiefer – bei gleichbleibender Höhe – die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.
Volumen
Herleitung mit Hilfe der zentrischen Streckung Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden als Höhe der Ausgangspyramide und als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass gilt. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass und daher auch Dabei ist der Streckfaktor der zentrischen Streckung.
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:
.
Aus und folgt .
Die Substitution ergibt und .
Einsetzen in die Gleichung ergibt
Mit Hilfe der Formel angewendet auf und ist das Volumen
Der Faktor ist die Höhe :
Daraus ergibt sich
mit als geometrischem Mittel der Flächeninhalte von Grundfläche und Deckfläche.
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Die -Achse sei so definiert, dass sie durch die Spitze der Ausgangspyramide und Ergänzungspyramide verläuft und orthogonal zur Grundfläche und zur Deckfläche ist. Dann ist die Höhe des Pyramidenstumpfes Teil der -Achse. Bezeichnet man den Flächeninhalt der Schicht im Abstand von der Spitze mit , dann ist eine reelle Funktion mit der Variablen . Aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung kann man eine Formel für herleiten:
Es gilt also und .
Daraus ergibt sich das Volumen des Pyramidenstumpfes als Integral der Funktion auf dem Intervall nach dem Prinzip von Cavalieri:
Grenzfälle Nähern sich Grund- und Deckfläche einem Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe allgemeine Volumenformel gilt. Geht die Höhe der Ausgangspyramide dagegen gegen unendlich, nähert sich der Flächeninhalt der Deckfläche dem der Grundfläche und man erhält ein Prisma, dessen Volumenformel sich damit wegen zu der Formel vereinfacht. Geht schließlich gegen 0, erhält man ja nachdem, ob die Grundfläche ein n-Eck oder Kreis ist, eine komplette Pyramide oder einen Kegel mit der allgemeinen Volumenformel .
Regelmäßiger Pyramidenstumpf Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche und als Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen. Der Mittelpunkt der Deckfläche liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
Formeln miniatur|links|hochkant=1.8|Quadratischer PyramidenstumpfGrößen ohne Raumwinkel in den Ecken
Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a1 als Grundfläche, regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a2 als Deckfläche und Höhe h)Allgemeiner FallQuadratischer PyramidenstumpfVolumenOberflächeninhaltFlächeninhalt der GrundflächeFlächeninhalt der DeckflächeFlächeninhalt der MantelflächeSteilkantenlängeUmkugelradiusInnenwinkel der regelmäßigen GrundflächeBasiswinkel der gleichschenkligen TrapezeWinkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen TrapezenDiederwinkel zwischen den gleichschenkligen TrapezenWinkel zwischen Kante und GrundflächeRaumwinkel in den Ecken der GrundflächeRaumwinkel in den Ecken der Deckfläche
Siehe auch Kegelstumpf Doppelpyramide
Literatur
Weblinks
Pyramidenstumpf-Rechner (Web Application zum Berechnen) Pyramidenstumpf (Beispielaufgaben)
Kategorie:Polyeder