__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__ Ein Zufallsgraph oder zufälliger Graph bezeichnet einen Graphen, bei dem die Kanten zufällig erzeugt werden. Zufallsgraphen sind die Grundlage der Perkolationstheorie und lassen sich zur Modellierung poröser Medien oder in der Netzwerktheorie einsetzen.
Definition Sei eine abzählbare Menge von Knoten. Dann heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Kantenmenge Zufallsgraphenmodell. Beispiele Mögliche Methoden, Zufallsgraphen zu erzeugen, sind: Die Knoten des Graphen werden in der Ebene gemäß einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt. Wenn zwei Knoten einen Abstand kleiner als eine vorgegebene Grenze haben, werden sie durch eine Kante verbunden.
Auf einer abzählbaren Knotenmenge kann jede Kante unabhängig und mit Wahrscheinlichkeit gewählt werden – durch diese Konstruktion entsteht fast sicher der Rado-Graph.
Gilbert-Modell mini|Realisierung des Gilbert-Graphen Das Gilbert-Modell (benannt nach Edgar Gilbert):E. N. Gilbert: Random graphs, Annals of Mathematical Statistics, Band 30, 1959, S. 1141–1144 mit einer natürlichen Zahl , der Zahl der Knoten, und einer Wahrscheinlichkeit bezeichnet die Menge aller Graphen, bei denen für jedes geordnete Paar von Knoten, mit , mit der Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, ob sie durch eine Kante verbunden werden, und das unabhängig von den anderen Kanten. Man untersucht dann häufig, mit welcher Wahrscheinlichkeit die erzeugten Graphen eine bestimmte Eigenschaft haben, z. B. ob sie zusammenhängend sind. Eine weitere Möglichkeit ist es, in Abhängigkeit von vorzugeben und dann das Verhalten bei wachsendem zu untersuchen.
Erdős-Rényi-Modell Das Erdős-Rényi-Modell (benannt nach Paul Erdős und Alfréd Rényi):P. Erdős, A. Rényi: On Random Graphs I, Publ. Math. Debrecen 6, 1959, S. 290–297 mit natürlichen Zahlen und bezeichnet die Menge aller Graphen mit exakt Knoten und Kanten.
Perkolationsmodelle sind ebenfalls zufällige Graphen.
Fragestellungen Wichtige Fragestellungen bei zufälligen Graphen sind:
Gegeben eine Eigenschaft , für welche bzw. und ab welcher Graphengröße besitzen alle Graphen die Eigenschaft ?
Gegeben eine Eigenschaft , geht die Wahrscheinlichkeit für gegen 1 oder 0 für ? Man sagt dann auch, fast alle oder fast gar keine Graphen erfüllen die Eigenschaft (siehe auch hier).
Wichtige Ergebnisse Durch Anwendung der probabilistischen Methode auf sein Zufallsgraphenmodell bewies Paul Erdős den Satz: Für jede natürliche Zahl gibt es einen Graphen, bei dem sowohl Taillenweite (Länge des kürzesten Kreises) als auch Chromatische Zahl größer als k sind.Reinhard Diestel, Graphentheorie, Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 3. Auflage 2006, S. 256ff.
Im selben Zufallsgraphenmodell konnte gezeigt werden, dass Isomorphie zu einem beliebigen Graphen für fast alle Graphen in linearer Zeit entscheidbar ist.Babai, László, Paul Erdös, und Stanley M. Selkow. "Random graph isomorphism." Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Computing 9.3 (1980): 628–635. online
Anwendungen Mithilfe von Zufallsgraphen lassen sich untere Schranken für Ramsey-Zahlen bestimmen.
Satz (Erdős, 1947).P. Erdös "Some remarks on the theory of graphs", Bulletin of the American Mathematical Society, Bull. Amer. Math. Soc. 53(4), 292-294, (April 1947) Für , wenn , dann gilt .
Mithilfe der Stirlingschen Formel folgt
Korollar
Zufallsgraphen sind auch nützlich zur Behandlung des Problems des Handlungsreisenden.
Lemma (Few, 1955) Bestimme Punkte im Einheitsquadrat. Dann gilt, dass die Länge der kürzesten Rundreise durch alle dieser Punkte von oben durch beschränkt ist.
Satz (Beaudward, Helton, Hammersby, 1959) Es existiert , sodass fast sicher gilt.
Mithilfe des Lemmas von Few lässt sich zeigen, dass , doch ansonsten ist weitestgehend unbekannt.
Literatur Douglas B. West: Introduction to Graph Theory. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. 1996, ISBN 0-13-227828-6.
Einzelnachweise
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