Die übliche Klassifikation projektiver Ebenen erfolgt in der synthetischen Geometrie anhand der Operation der jeweiligen Gruppe ihrer Kollineationen. Die Lenz-Barlotti-Klassifikation klassifiziert die Ebenen durch Eigenschaften der Operation bestimmter Untergruppen ihrer Kollineationsgruppe, sie verfeinert dabei die Lenz-Klassifikation. Dazu wird bei beiden Klassifikationen als Merkmal die Reichhaltigkeit der Untergruppen der Kollineationsgruppe betrachtet, die aus zentral-axialen Kollineationen (ebenen, projektiven Perspektivitäten) mit je einer festen Achse und einem festen Zentrum bestehen.

Dabei zeigt sich, dass die gröbere Klasseneinteilung nach Lenz in der Regel jeder Klasse von Ebenen eine für sie charakteristische Klasse von Ternärkörpern zuordnet: Der Koordinatenbereich einer „höheren“ Lenz-Klasse erfüllt – bei geeigneter Wahl der projektiven Punktbasis für die Koordinatisierung – stärkere algebraische Axiome als der einer niedrigeren.

Die Lenz-Barlotti-Klassifikation ist keine Klassifikation „bis auf Isomorphie“: Isomorphe projektive Ebenen gehören stets zur gleichen Klasse, aber Ebenen einer Klasse brauchen nicht zueinander isomorph zu sein. Die einzigen Ausnahmen sind die Lenz-Barlotti-Klassen IVa.3 und IVb.3: In diesen Klassen sind alle Vertreter jeweils zueinander isomorphe Ebenen der Ordnung 9.

Geschichte Hanfried Lenz entwickelte in den 1940er Jahren eine Klassifikation für projektive Ebenen, die Lenz-Klassifikation.Benz 1990 Dabei definierte er als charakteristisches Merkmal die später ebenfalls nach ihm benannte Lenz-Figur einer projektiven Ebene, eine Menge von Paaren, die jeweils von einer Achse (Fixpunktgerade) und einem Punkt (dem Zentrum) auf dieser Achse gebildet werden.Lenz (1954) Adriano Barlotti erweiterte und verfeinerte diese Klassifikation in den 1950er Jahren dadurch, dass er für die charakteristische Figur auch Zentren außerhalb der Achse zuließ.Barlotti (1957) Damit wird aus der Lenz-Figur die Lenz-Barlotti-Figur.

Günter Pickert entwickelte in den 1960er Jahren eine formale Definition des klassischen Begriffes Schließungssatz mit dem sich auch „Spezialisierungen“ eines Schließungssatzes und affine Formen (Spezialisierungen mit einer ausgezeichneten, konstanten Geraden, der Ferngeraden) fassen und vergleichen lassen.Pickert (1975) Der für die Klassifikation projektiver Ebenen wichtige Schließungssatz ist der Satz von Desargues, alle „Transitivitätseigenschaften“, die eine Lenz- oder Lenz-Barlotti-Klasse charakterisieren, sind der Gültigkeit einer Spezialisierung des desarguesschen Satzes zusammen mit der Nichtgültigkeit einer anderen seiner Spezialisierungen gleichwertig. Pickert konnte auch zeigen, dass die Gültigkeit jedes Schließungssatzes äquivalent zur Gültigkeit bestimmter algebraischer Axiome in einem geeignet gewählten Koordinatenternärkörper ist. Die Lenz-Barlotti-Klassifikation liefert insofern zugleich eine Klassifikation der Koordinatenternärkörper. Während aber die Klassen der algebraischen Axiome und der Schließungssätze prinzipiell unbeschränkt sind, liefert die Lenz-Barlotti-Klassifikation anhand der Automorphismengruppe der Ebene eine endliche Anzahl von Klassen.

Definitionen Im Folgenden sei eine projektive Ebene und zugleich die Menge der auf der Ebene liegenden projektiven Punkte und die Menge der Geraden der Ebene, die Gruppe der Kollineationen der Ebene. Eine Kollineation heißt -Kollineation, wenn sie die Achse und das Zentrum hat, das heißt, wenn gilt: Für jeden Punkt ist und Für jede Gerade , die durch geht, ist . Mit wird die Untergruppe der -Kollineationen der Ebene bezeichnet. Die projektive Ebene heißt -transitiv, wenn die Gruppe für jede Gerade mit transitiv auf operiert.

Figuren Die Menge

heißt Lenz-Figur von .

Die Menge

heißt Lenz-Barlotti-Figur von .

Invarianz der Figuren Sowohl die Lenz-Figur, als auch die Lenz-Barlotti-Figur sind invariant unter jeder Kollineation, das heißt konkret:

Ist eine projektive Ebene und eine beliebige Kollineation dieser Ebene, dann gilt und .

Koordinatisierung der projektiven Ebene mini|Einführung von Koordinaten in einer beliebigen projektiven Ebene durch eine projektive Punktbasis (vollständiges Viereck) (rot). Die Verbindungsgerade (hellblau) wird zur Ferngerade der Ebene.

Für Ebenen der Lenz-Klassen I bis IV ist die algebraische Struktur der Koordinatenternärkörper von der Wahl des projektiven Koordinatensystems abhängig und von der darauf beruhenden Definition der Ternärkonstruktion. Die im nächsten Abschnitt beschriebenen Lenz-Barlotti-Figuren werden mit Hilfe des hier beschriebenen Koordinatenbezugssystems angegeben. Dazu wird eine Koordinatendarstellung der Punkte mit abgekürzten Koordinaten auf der Ferngeraden eingeführt, vergleiche dazu die Abbildung rechts, die Koordinatisierung und die Bezeichnungen richten sich nach Prieß-Crampe, sie gehen auf Marshall HallHall (1943), Heyting (1963)(1980) zurück: Ein projektives Koordinatensystem wird durch geeignete Wahl eines vollständigen Vierecks auf der Lenz-Barlotti-Figur bestimmt. Der Punkt O wird zum Ursprung des affinen Koordinatensystems, ist die Ferngerade, die affinen Punkte auf , also die Punkte in bilden den Ternärkörper. Der Punkt O wird zum neutralen Element der Addition und als Element von K mit 0 bezeichnet. Der Punkt E wird zum neutralen Element der Multiplikation und als Element von K mit 1 bezeichnet. Alle Elemente der affinen Gerade K haben als affine Koordinaten Der Punkt mit den Koordinaten ist bestimmt als Schnittpunkt der Geraden und . Umgekehrt erhält man die Koordinaten eines affinen Punktes als Schnittpunkte und . Spezialfälle: Die affinen Punkte B auf der Geraden , also alle Punkte dieser Geraden außer V, haben die Koordinaten , wobei das Ternärkörperelement (Koordinate) als Schnittpunkt bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung schwarz dargestellt. Die affinen Punkte Y auf der Geraden , also alle Punkte dieser Geraden außer V, haben die Koordinaten , wobei die Koordinate als Schnittpunkt bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung grün dargestellt. Ein Punkt auf der Ferngeraden erhält die Koordinatendarstellung wobei dadurch bestimmt ist, dass der Schnittpunkt die affinen Koordinaten hat. Der Punkt V, dem auf diese Art keine Koordinate zugewiesen werden kann, erhält die Koordinatendarstellung .

Ternärverknüpfung und Geradendarstellung mini|Ternärkonstruktion in einer beliebigen projektiven Ebene für die Ternärkörperelemente, das sind die affinen Punkte der Geraden . Die Verbindungsgerade (hellblau) ist die Ferngerade der Ebene. Die Ternärverknüpfung wird nun für so definiert, vergleiche die zweite Abbildung rechts: Zu wird der Fernpunkt konstruiert. Zu wird der Punkt konstruiert. Das Ergebnis ist bestimmt als die y-Koordinate des Schnitts , der in der Abbildung grün dargestellt ist.

Diese Ternärverknüpfung ist der im Artikel Ternärkörper beschriebenen affinen Definition äquivalent. Anders als dort beschrieben, werden hier die Geraden durch in der zweiten Koordinate y explizite Gleichungen (und zwei Sonderformen) dargestellt: Die Geraden haben die explizite Geradengleichung für die affinen Punkte und den Fernpunkt , als Beispiel in der Abbildung die grau dargestellte Verbindungsgerade . Dies sind alle Geraden der projektiven Ebene, außer denen durch . Ein Spezialfall sind die Verbindungsgeraden mit der affinen Gleichung und dem Fernpunkt . Die Geraden durch V, die in einem affinen Punkt schneiden, haben die Gleichung für die affinen Punkte und den Fernpunkt . Ein Beispiel ist die Gerade in der Abbildung. Die Ferngerade enthält genau die Punkte mit den Koordinaten .

Im affinen Ausschnitt der Ebene sind Geraden genau dann parallel, wenn ihre projektive Fortsetzungen durch denselben Fernpunkt gehen, daher gilt für die Parallelenscharen: Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ist. Diese Zahl ist die gemeinsame Steigung der zugehörigen Parallelenschar. Alle Geraden vom zweiten Typ sind zueinander, aber zu keiner Geraden des ersten Typs parallel.

Konstruktion der zweistelligen Verknüpfungen Auf jeder projektiven Ebene werden durch die Wahl eines Koordinatenbezugssystems auch zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition und eine Multiplikation auf der affinen Punktmenge festgelegt. Die oben beschriebene Ternärverknüpfung ist auf allen Ebenen außer denen der Lenz-Barlotti-Klasse I.1, also auf allen Ebenen über einem linearen Ternärkörper durch diese zweistelligen Verknüpfungen als darstellbar.

In den Abbildungen unten sind diese Spezialfälle der Ternärverknüpfung dargestellt. Datei:Addition Construction Projective.svg mini Addition in einer projektiven Ebene. Multiplikation in einer projektiven Ebene.

Die Klassen und ihre Eigenschaften Lenz-Klassen Lenz ordnet jeder Lenz-Figur eine Ordnungszahl in Form einer römischen Zahl zwischen I und VII zu. Eine Klasse mit einer höheren Klassenzahl erfüllt alle Eigenschaften der Klassen mit niedrigeren Zahlen, aber ihre Lenz-Figur ist eine echte Obermenge von Lenzfiguren der niedrigeren Klassen. Die Klassenzahl VI entfällt, da gezeigt wurde, dass keine projektive Ebene mit der entsprechenden Lenz-Figur existiert. Stattdessen hat bereits Lenz die Klasse IV in zwei Unterklassen IVa und IVb aufgeteilt, die dual zueinander sind.

Eine projektive Ebene hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Figuren:

Lenz-Typ Lenz-Figur Koordinatenbereich I Ternärkörper II Es gibt eine Achse und ein Zentrum mit kartesische Gruppe III Es gibt eine Gerade und einen Punkt , so dass gilt. spezielle kartesische Gruppe (stets unendlich!) IVa Es gibt eine Achse , so dass gilt. Linksquasikörper IVb Es gibt ein Zentrum , so dass gilt. RechtsquasikörperWenn man bei einer Ebene der Lenz-Klasse IVb von der dualen Ebene ausgeht, also bei der Konstruktion des Koordinatenbereichs anstelle der Punktmenge zunächst die Geradenmenge und ein geeignetes vollständiges Vierseit zugrunde legt, dann kann man dieses Vierseit so wählen, dass der Koordinatenbereich der erneut dualisierten Ebene ein Rechtsquasikörper ist. V Es gibt eine Achse und ein Zentrum , so dass gilt. Halbkörper VII Alternativkörper

Ebenen, die mindestens den Lenz-Typ IVa haben, also zu einer der Klassen IVa, V oder VII gehören, werden auch als projektive Translationsebenen bezeichnet. Schlitzt man eine solche Ebene längs einer Achse, die zur Lenzfigur gehört, dann entsteht eine affine Translationsebene. Bei Ebenen der Lenz-Klassen IVb, V oder VII ist die duale Ebene eine projektive Translationsebene in diesem Sinn. Nur bei Ebenen der Lenz-Klasse VII ist die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs unabhängig von der Wahl des projektiven Koordinatensystems, hier sind alle Koordinatenbereiche zueinander isomorphe Alternativkörper, siehe dazu Moufangebene. Für eine Ebene der Klasse V sind die Koordinatenbereiche zueinander isotope Halbkörper. Bei den Klassen I bis IV sind die Koordinatenkörper zueinander isotope Ternärkörper und nur bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems haben sie die in der Tabelle genannte „stärkst-mögliche“ algebraische Struktur.

Lenz-Barlotti-Klassen