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Ein Parallelogramm (von „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid („rautenähnlich“) ist ein ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.
Eigenschaften eines Parallelogramms Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm). Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°. Die Diagonalen halbieren einander. Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung). Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).
Für jedes Parallelogramm gilt: Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke. Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat (Satz von Thébault-Yaglom).
Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.
Formeln Mathematische Formeln zum ParallelogrammFlächeninhalt (siehe Satz des Heron)Über Transformation in ein Rechteck mit der Determinante:hochkant=1.5|alt=|rahmenlosUmfangInnenwinkelHöheLänge der Diagonalen (siehe Kosinussatz)Parallelogrammgleichung
Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm mini|260px|ohne|Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite mit der zugehörigen Höhe . mini|ohne|Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen Der Flächeninhalt des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms entspricht der Fläche des großen Rechtecks abzüglich der sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation erhält man ihn auch, indem man vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abzieht. Es ist also:
Parallelogrammgitter mini|Parallelogrammgitter
Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter. Geometrische FigurQuadratRechteckRauteParallelogrammBravais-Gitterquadratisches Bravais-Gitterrechtwinkliges Bravais-Gitterzentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitterschiefwinkliges Bravais-GitterKristallsystemtetragonales Kristallsystemorthorhombisches Kristallsystemorthorhombisches Kristallsystemmonoklines KristallsystemBild160x160px160x160px160x160px160x160px
Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge
geschrieben werden, wobei die Vektoren , die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.
Konstruktion eines Parallelogramms Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen und sowie die Höhe gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
mini|hochkant=1.6|links|Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen und sowie der Höhe . Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.
Verallgemeinerungen mini|Parallelepiped
Eine Verallgemeinerung auf Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge sowie deren Parallelverschiebungen. Die sind dabei linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.
Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.
Satz von Varignon gerahmt|Für jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm. Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Beweis:
Nach Definition gilt .
Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist . Ebenso zeigt man, dass , , und . Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist und .
Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.
Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass und ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.
Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm
Parallelogramme mit Quadraten mini|180px|Figur 2 mini|178px|Figur 1 Der Satz von Thébault-Yaglom besagt, dass wenn man über den Seiten eines Parallelogramms Quadrate errichtet, so bilden deren Mittelpunkte , , und ein weiteres Quadrat (siehe Figur 1)
Beweis:
Die vier gelben Dreiecke , , und in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei , , und überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel und gleich groß sind, muss auch ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck ein Quadrat.Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172
Goldener Schnitt in Parallelogrammen mini|hochkant=1.5|Figur 3: Flächenfüllung mit Dreiecksspiralen Ein Parallelogramm, bei dem das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich dem Goldenen Schnitt ist, habe einen spitzen Innenwinkel von 60°. Die kürzere Seite habe o. B. d. A. die Länge 1.
Dann lassen sich zwei Folgen gleichseitiger Dreiecke jeweils so anordnen, dass jedes Dreieck der Folge durch eine Ecke seines Nachfolgers ebenfalls im Goldenen Schnitt geteilt wird. Weil das Parallelogramm punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen ist, sind die Grenzwerte der zu den beiden Folgen gehörigen Reihen identisch und füllen spiralförmig die gesamte Fläche des Parallelogramms aus. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Parallelogramme konvergieren hierbei gegen Null (Figur 3).
Ist die Höhe auf der längeren Seite des Ausgangsparallelogramms, so hat jede der beiden Dreiecksspiralen die Flächenmaßzahl .Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, S. 77
Verwendung in der Technik Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:
Siehe auch Parallelepiped Parallelotop Antiparallelogramm
Literatur F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie). P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2. Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
Weblinks
. Abgerufen am 18. November 2016. . Abgerufen am 18. November 2016. . Abgerufen am 15. Mai 2025.
Einzelnachweise
Kategorie:Viereck Kategorie:Vierecksgeometrie