Ein Ternärkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Ternärkörper dabei aus den Punkten einer fest gewählten Geraden der Ebene, nämlich der ersten Koordinatenachse des Koordinatensystems, das man auf dieser Ebene einführt. Auf dieser Punktmenge wird durch die Ternärkonstruktion eine dreistellige Verknüpfung definiert, mit der die Gerade die algebraische Struktur eines Ternärkörpers erhält. Umgekehrt gibt es zu jeder Struktur , die die Axiome eines Ternärkörpers erfüllt, eine affine Ebene, deren Punkte die Paare sind und deren Geraden sich als Lösungsmengen von Gleichungen in mit Hilfe der Ternärverknüpfung darstellen lassen.
Etwas salopp formuliert: Jede affine Ebene „ist“ eine zweidimensionale Ebene über einem Ternärkörper und zu jeder affinen Ebene gibt es bis auf Isomorphie genau einen Ternärkörper als Koordinatenmenge. Die Mächtigkeit des Ternärkörpers entspricht der Ordnung der zugehörigen affinen Ebene.
Ist die affine Ebene eine affine Translationsebene, dann kann ihr Koordinatenternärkörper zu einem Quasikörper gemacht werden, für desarguesche Ebenen ist dies sogar ein Schiefkörper, für pappussche Ebenen ein Körper.
Ein Ternärkörper, in dem die Ternärverknüpfung durch eine Addition und eine Multiplikation dargestellt werden kann, wird als linear bezeichnet. Erfüllt in einem linearen Ternärkörper die Addition das Assoziativgesetz, dann wird er als kartesische Gruppe bezeichnet. Quasikörper sind stets kartesische Gruppen. Einen Quasikörper, dessen Multiplikation assoziativ ist, nennt man Fastkörper. Wenn beide Distributivgesetze gelten, wird der Quasikörper in der Geometrie als Halbkörper bezeichnet. Alternativkörper sind stets solche Halbkörper, Schiefkörper sind stets Alternativkörper.
Die hier beschriebenen Koordinatenbereiche, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenkörper bezeichnet werden, auch wenn sie nicht Körper im algebraischen Sinn sind, können auch zur Einführung von projektiven Koordinaten auf einer projektiven Ebene benutzt werden. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Schließungssätzen und den Folgerungen für die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs der Ebenen, die den Schließungssatz erfüllen, wird im vorliegenden Artikel dargestellt und weiter unten im Abschnitt #Schließungssätze und Koordinatenbereiche zusammengefasst. Bei der Klassifikation projektiver Ebenen stellt sich heraus, dass jeder Klasse von projektiven Ebenen (im Sinne der Klassifizierung nach Hanfried Lenz) eine Klasse von Koordinatenbereichen mit jeweils für diese Ebenenklasse charakteristischen Zusatzeigenschaften zugeordnet werden kann.
Im vorliegenden Artikel werden Algebraisierungen von affinen Ebenen beschrieben, die auf einem Koordinatensystem beruhen, und die Verknüpfungen, die sich durch die geometrische Struktur auf einer Koordinatenachse ergeben. Ein anderer Zugang, der sich vor allem für nichtdesarguesche affine Translationsebenen als fruchtbar erweist, besteht darin, gewisse, nämlich die spurtreuen, Endomorphismen der Translationsgruppe algebraisch zu beschreiben. Dieser Ansatz führt bei desargueschen Ebenen zu einem Schiefkörper, der isomorph zu dem im vorliegenden Artikel beschriebenen Koordinatenschiefkörper ist. Dieser andere Zugang wird im Hauptartikel Affine Translationsebene beschrieben. Für eine synonyme Algebraisierung von affinen Ebenen, insbesondere der nichtdesargueschen, ohne dezidierte Auszeichnung eines Koordinatensystems wird auf den Hauptartikel Geometrische Relationenalgebra verwiesen.
Geometrische Konstruktion Hier werden zu einer affinen Ebene ihr Koordinatenternärkörper und dessen Verknüpfung geometrisch konstruiert. Dazu müssen in der affinen Ebene drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte als Koordinatenbezugssystem (Punktbasis) fest gewählt werden. Der Punkt ist der Ursprung, die anderen Punkte sind die Einheitspunkte dieses Koordinatensystems. Die Punkte der Verbindungsgeraden , der ersten Koordinatenachse, bilden die Koordinatenmenge . Diese Koordinatenmenge wird durch die Ternärkonstruktion mit einer dreistelligen Verknüpfung ausgestattet, mit der sie zu einem Ternärkörper wird.
Koordinatenkonstruktion mini|Konstruktion des Koordinatenpaars zu einem Punkt und umgekehrt. Zu einem Punkt ist : Die Parallele zu durch schneidet die erste Koordinatenachse in . : Die Parallele zu durch schneidet die zweite Koordinatenachse in . Die Parallele zu durch schneidet die erste Koordinatenachse in . Das Punktepaar heißt Koordinatenpaar des Punktes , es ist dann üblich, wenn das Koordinatensystem klar ist, für den Punkt zu schreiben. Diese Konstruktion lässt sich umkehren: Zu einem Koordinatenpaar ist : Die Parallele zu durch schneidet die zweite Koordinatenachse in . : Die Parallele zu durch schneidet die Parallele zu durch in . Dadurch wird jedem Koordinatenpaar umkehrbar eindeutig ein Punkt der affinen Ebene zugeordnet.
Die Abbildung rechts zeigt die Schritte beider Konstruktionen, der Koordinatenkonstruktion und ihrer Umkehrung. Beide Konstruktionen können so für alle Koordinatenbereiche vom Ternärkörper bis zum Körper in beide Richtungen angewendet werden.
Ternärkonstruktion mini|Ternärkonstruktion. Zu drei Koordinaten , also Punkten auf der Achse , wird zunächst durch umgekehrte Koordinatenkonstruktion der Punkt mit den Koordinaten in der affinen Ebene konstruiert. Dann schneidet die Parallele zu durch die erste Koordinatenachse in .
Die Abbildung rechts zeigt die Ternärkonstruktion. Die abgebildete Gerade erhält dann die Koordinatengleichung , ihre Parallelenschar sind die Geraden mit den Gleichungen , wobei der jeweilige „-Achsenabschnitt“ ist, d. h. schneidet die erste Koordinatenachse in . Die allgemeine Definition der Geradengleichungen erfolgt weiter unten.
Die Menge der Punkte auf der ersten Koordinatenachse erfüllt mit der Verknüpfung, die durch die Ternärkonstruktion gegeben ist, die axiomatischen Forderungen an einen Ternärkörper. Die Strukturkonstanten, deren Existenz in den Axiomen gefordert ist, sind die Punkte bzw. , also Ursprung bzw. erster Einheitspunkt der Punktbasis.
Algebraische Definition Hier wird ein Ternärkörper durch seine algebraischen Eigenschaften definiert und auf der so definierten Struktur eine affine Ebene aufgebaut, in der die Elemente von als Punkte dienen. Axiome Eine Menge zusammen mit einer dreistelligen Verknüpfung (der Ternärverknüpfung) heißt Ternärkörper, wenn die folgenden Axiome gelten: Es gibt zwei verschiedene Elemente und in , so dass und und für alle gilt. Zu gibt es genau ein für das gilt. Zu gibt es, falls ist, genau ein Paar , für das gilt. Zu zwei Paaren gibt es, falls ist, genau ein , für das gilt.
In der Literatur finden sich auch Axiome für Ternärkörper, bei denen die Rollen der ersten und zweiten Stelle in der Ternärverknüpfung vertauscht sind. Diese Ternärverknüpfung, die hier als „Rechtsternärverknüpfung“Dies ist kein üblicher Begriff, er wird hier benützt, weil der „Rechts“-Ternärkörper einer affinen Translationsebene ein Rechtsquasikörper ist, während der in diesem Artikel nach Degen (1976) definierte Ternärkörper in diesen Fällen ein Linksquasikörper ist. bezeichnet werden soll, geht aus der hier beschriebenen „Linksternärverknüpfung“ durch die Vertauschung der ersten zwei Stellen hervor: . Das dritte und vierte Axiom muss entsprechend für umformuliert werden.
Addition und Multiplikation, speziellere Ternärkörper Man kann allgemein in Ternärkörpern eine Addition und Multiplikation so definieren:
und . Es gilt: ist eine Quasigruppe mit dem neutralen Element , also eine Loop, ist ebenfalls eine Loop mit dem neutralen Element 1 und es gilt für jedes Element . Gilt darüber hinaus , also für alle , so nennt man den Ternärkörper linear. Ist die hier definierte Addition assoziativ, dann bildet sogar eine Gruppe. In diesem Fall nennt man einen linearen Ternärkörper eine Kartesische Gruppe.Benz (1990), S. 244
Der Ternärkörper einer affinen Translationsebene ist ein Quasikörper, eine kartesische Gruppe mit kommutativer Addition und weiteren Zusatzeigenschaften. Siehe dazu die Hauptartikel Affine Translationsebene und Quasikörper.
Geometrie der Ebene Die Menge der Paare bildet die Menge der Punkte, Geraden sind die Lösungsmengen der Gleichungen , () und die Lösungsmengen der Gleichungen , ( bzw. für lineare Ternärkörper, also insbesondere Quasi- und Schiefkörper) Die Elemente heißen Koeffizienten der Geraden bzw. . Sie beschreiben die Geraden eineindeutig, das heißt zwei Geraden stimmen genau dann überein, wenn sie vom gleichen Typ sind und ihre Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie beide vom erstgenannten Typ sind oder wenn sie beide vom zweitgenannten Typ sind und in ihrem ersten Koeffizienten übereinstimmen: . Varianten Durch die Gleichungen erhält man explizite Geradengleichungen, die in der neueren Literatur bevorzugt werden. Dann ist der „-Achsenabschnitt“, die Koeffizienten unterscheiden sich von den oben definierten. Entsprechende Geradengleichungen für die umgekehrte „Rechts“-Version erhält man natürlich wieder einfach durch Vertauschen der Rolle der ersten und zweiten Stelle.
Endliche Ternärkörper und lateinische Quadrate
Durch eine Liste von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung n wird ein (bis auf Isomorphie) eindeutiger Ternärkörper mit n Elementen bestimmt. Jeder endliche Ternärkörper mit einer festen Anordnung seiner Elemente bestimmt eine (bis auf die Reihenfolge der Quadrate und gemeinsame Umnummerierung aller ihrer Einträge) eindeutige solche Liste.
Schließungssätze und Koordinatenbereiche In der nachfolgenden Tabelle werden die Folgerungen zusammengefasst, die sich aus geometrischen Schließungssätzen für die algebraische Struktur eines Koordinatenbereiches ergeben, der einer Ebene zugeordnet werden kann. Außerdem zeigt die Tabelle, welche Schließungssätze eine Ebene erfüllt, deren Koordinatenbereich die Axiome für einen bestimmten „verallgemeinerten Körper“ erfüllt.
Affine EbeneProjektive Ebene Bezeichnung Geometrische Charakterisierung Koordinatenbereich Bezeichnung Projektiver Schließungssatz Affine Inzidenzebene (Axiome der affinen Ebene) ist ein Ternärkörper. projektive Inzidenzebene (Axiome der projektiven Ebene) Translationsebene Kleiner affiner Satz von Desargues gilt. ist ein Quasikörper. Moufangebene Kleiner Satz von Desargues Desarguesche Ebene Großer affiner Satz von Desargues gilt. ist ein Schiefkörper. Desarguessche Ebene Großer Satz von Desargues Pappussche Ebene Großer affiner Satz von Pappos gilt. ist ein Körper. Pappussche Ebene Großer Satz von Pappos
In der Tabelle impliziert jede Zeile die darüberliegende, wobei die Axiome der affinen bzw. projektiven Ebene von jeder spezielleren Ebene gefordert werden und die Verknüpfung im Ternärkörper eine andere ist als in den spezielleren Körpern. Affine Ebenen, deren Koordinatenbereich ein Schiefkörper ist, in denen also der große affine Satz von Desargues gilt, werden affine desarguessche Ebenen, alle anderen affine nichtdesarguessche Ebenen genannt. Die letzten beiden Spalten führen die entsprechenden projektiven Ebenen auf. Durch Schlitzen einer projektiven Ebene, die den in der Zeile genannten (projektiven) Schließungssatz erfüllt, entsteht stets eine affine Ebene von dem Typ, der in der gleichen Zeile beschrieben ist (→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem). Daher können die Koordinatenbereiche der affinen Ebenen auch auf die entsprechenden projektiven Ebenen angewandt werden. Zwei affine Ebenen, die man durch Ausschneiden von unterschiedlichen Geraden aus einer bestimmten projektiven Ebene erhalten hat, müssen nicht isomorph sein, ebenso wenig die durch das Schlitzen bestimmten Koordinatenternärkörper. Das bedeutet zugleich, dass die projektiven Abschlüsse von zwei nicht isomorphen affinen Ebenen isomorph sein können.