Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.
Verwendet werden die Punktgruppen: in der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt und inzwischen hauptsächlich mit Hilfe der Hermann-Mauguin-Symbolik bezeichnet werden, in der Molekülphysik, wo die Punktgruppen mit Hilfe der Schoenflies-Notation bezeichnet werden.
Mathematische Grundlagen Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.
In den Punktgruppen des dreidimensionalen, euklidischen Vektorraums sind Symmetrieoperationen möglich, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identität Punktspiegelung an einem Inversionszentrum Ebenenspiegelung Drehung um eine Drehachse sowie die Kopplung aus Drehung und Punktspiegelung: Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können nicht Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.
Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.
Es gibt kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch Curie-Gruppen genannt und bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen); diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in: diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten: {|class="wikitable" |- ! Gruppe !! Gruppensymbol (Schönflies) !! Erläuterung |- | rowspan=3| Drehgruppe | Cn || Eine n-zählige Drehachse |- | Cnv || 1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene) |- |Cnh || 1 Cn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene) |- | rowspan=3| Diedergruppe | Dn || 1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu |- | Dnd || 1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der C2-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene) |- | Dnh || 1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu |- | Drehspiegelgruppe | Sn || 1 n-zählige Drehspiegelachse |} Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen: ( Spiegelung) ( Inversion, d. h. Punktspiegelung) diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper: Die Tetraedergruppen: . Dabei entspricht der vollen Symmetrie eines Tetraeders. Die Oktaedergruppen: . Dabei entspricht der vollen Symmetrie eines Oktaeders bzw. Hexaeders. Die Ikosaedergruppen: . Dabei entspricht der vollen Symmetrie eines Ikosaeders bzw. Dodekaeders.
Punktgruppen in der Kristallographie Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.
Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.
Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, die ausschließlich 1-, 2-, 3-, 4- und/oder 6-zählige Drehachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60°) und/oder Drehinversionsachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60° mit jeweils daran gekoppelter Punktspiegelung; die 2-zählige Drehinversionsachse führt dabei zum selben Ergebnis wie eine Ebenenspiegelung, weshalb für diese das Symbol m für eine Spiegelebene verwendet wird) enthalten. Folgende 32 Punktgruppen erfüllen die vorgenannten Bedingungen:
Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen) Punktgruppe (Kristallklasse) Lauegruppe Kristallsystem Kristallfamilie Zugehörige Raumgruppen (Nr.) Physikalische Eigenschaften Beispiele Nr. Name Symbol Enantiomorphie Optische Aktivität Pyroelektrizität Piezoelektrizität; SHG-Effekt Schoenflies Hermann-Mauguin Lang Kurz 1 triklin-pedial C1 1 triklin (1) + + [uvw] + AbelsonitAxinit 2 triklin-pinakoidal Ci (S2) (2) – – – – AlbitAnorthit 3 monoklin-sphenoidisch C2 121 2 2/m monoklin (3), (4), (5) + + + UranophanHalotrichit 112 4 monoklin-domatisch Cs (C1h) 1m1 m (6), (7), (8), (9) – + [u0w] + SodaSkolezit 11m [uv0] 5 monoklin-prismatisch C2h 12/m1 2/m (10), (11), (12), (13), (14), (15) – – – – GipsKryolith 112/m 6 orthorhombisch-disphenoidisch D2 (V) 222 mmm orthorhombisch (16), (17), (18), (19), (20), (21), (22), (23), (24) + + – + AustinitEpsomit 7 orthorhombisch-pyramidal C2v mm2 (25), (26), (27), (28), (29), (30), (31), (32), (33), (34), (35), (36), (37), (38), (39), (40), (41), (42), (43), (44), (45), (46) – + + HemimorphitStruvit 8 orthorhombisch-dipyramidal D2h (Vh) 2/m2/m2/m mmm (47), (48), (49), (50), (51), (52), (53), (54), (55), (56), (57), (58), (59), (60), (61), (62), (63), (64), (65), (66), (67), (68), (69), (70), (71), (72), (73), (74) – – – – TopasAnhydrit 9 tetragonal-pyramidal C4 4 4/m tetragonal (75), (76), (77), (78), (79), (80) + + + PiypitPinnoit 10 tetragonal-disphenoidisch S4 (82), (82) – + – + SchreibersitCahnit 11 tetragonal-dipyramidal C4h 4/m (83), (84), (85), (86), (87), (88) – – – – ScheelitBaotit 12 tetragonal-trapezoedrisch D4 422 4/mmm (89), (90), (91), (92), (93), (94), (95), (96), (97), (98) + + – + CristobalitMaucherit 13 ditetragonal-pyramidal C4v 4mm (99), (100), (101), (102), (103), (104), (105), (106), (107), (108), (109), (110) – – + LenaitDiaboleit 14 tetragonal-skalenoedrisch D2d (Vd) 2m 2m (111), (112), (113), (114) – + – + ChalkopyritStannit m2 (115), (116), (117), (118), (119), (120), (121), (122) 15 ditetragonal-dipyramidal D4h 4/m2/m2/m 4/mmm (123), (124), (125), (126), (127), (128), (129), (130), (131), (132), (133), (134), (135), (136), (137), (138), (139), (140), (141), (142) – – – – RutilZirkon 16 trigonal-pyramidal C3 3 trigonal hexagonal (143), (144), (145), (146) + + + CarlinitAqualith 17 rhomboedrisch C3i (S6) (147), (148) – – – – DolomitDioptas 18 trigonal-trapezoedrisch D3 321 32 m (150), (152), (154), (155) + + – + QuarzTellur 312 (149), (151), (153) 19 ditrigonal-pyramidal C3v 3m1 3m (156), (158), (160), (161) – – + TurmalinPyrargyrit 31m (157), (159) 20 ditrigonal-skalenoedrisch D3d 12/m m (162), (163) – – – – CalcitKorund 2/m1 (164), (165), (166), (167) 21 hexagonal-pyramidal C6 6 6/m hexagonal (168), (169), (170), (171), (172), (173) + + + NephelinZinkenit 22 trigonal-dipyramidal C3h (174) – – – + PenfielditLaurelit 23 hexagonal-dipyramidal C6h 6/m (175), (176) – – – – ApatitZemannit 24 hexagonal-trapezoedrisch D6 622 6/mmm (177), (178), (179), (180), (181), (182) + + – + HochquarzPseudorutil 25 dihexagonal-pyramidal C6v 6mm (183), (184), (185), (186) – – + WurtzitZinkit 26 ditrigonal-dipyramidal D3h m2 m2 (187), (188) – – – + BastnäsitBenitoit 2m (189), (190) 27 dihexagonal-dipyramidal D6h 6/m2/m2/m 6/mmm (191), (192), (193), (194) – – – – GraphitMagnesium 28 tetraedrisch-pentagondodekaedrisch T 23 m kubisch (195), (196), (197), (198), (199) + + – + UllmannitNatriumbromat 29 disdodekaedrisch Th 2/m m (200), (201), (202), (203), (204), (205), (206) – – – – PyritKalialaun 30 pentagon-ikositetraedrisch O 432 mm (207), (208), (209), (210), (211), (212), (213), (214) + + – –MaghemitYe’elimit 31 hexakistetraedrisch Td 3m (215), (216), (217), (218), (219), (220) – – – + SphaleritSodalith 32 hexakisoktaedrisch Oh 4/m2/m mm (221), (222), (223), (224), (225), (226), (227), (228), (229), (230) – – – – DiamantKupfer
Anmerkungen Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen einer Raumgruppe bilden einen Normalteiler von . Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d. h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.
Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei Festkörpern in den Quasikristallen solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.
Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.
Punktgruppen in der Molekülphysik