Inhaltskette

Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. ) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist.

Formale Definition Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

wobei mit der Teilersumme .

Eigenschaften Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. ), kurz auch P-Familie (engl. ) genannt. Eine Ringfamilie (engl. ), kurz auch R-Familie genannt (engl. ), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Perfekte Zahlen terminieren in einer perfekten Zahl, nämlich sich selbst (weil sie so definiert sind).

Befreundete Zahlen terminieren in einem Zykel mit einer Länge von 2 (weil sie so definiert sind).

Gesellige Zahlen terminieren in einem Zykel der Länge 3 oder größer (weil sie so definiert sind).

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Die Mathematiker Richard Kenneth Guy und John L. Selfridge nehmen allerdings an, dass die Catalan-Dickson-Vermutung falsch ist (was bedeuten würde, dass es Zahlen gibt, deren Inhaltsketten weder in der 0 noch in einer perfekten Zahl, noch in einem Zykel münden; ihre Inhaltskette wären somit unendlich lang).A. S. Mosunov, What do we know about aliquot sequences?

Eine Zahl, die in keiner Inhaltskette vorkommt (mit Ausnahme als Startwert der eigenen Inhaltskette), nennt man unberührbare Zahl (vom englischen untouchable number).

Beispiele Beispiel 1:

Die Inhaltskette von 10 ist (10, 8, 7, 1, 0), hat somit eine Länge von und terminiert in der 0:

Beispiel 2:

Die Inhaltskette von 95 ist (95, 25, 6, 6,...), hat somit eine Länge von n=3 und terminiert in der perfekten Zahl 6:

Beispiel 3:

Die Inhaltskette von 220 ist (220, 284, 220, 284, 220,...), hat eine Länge von und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 2 (220 und 284 sind befreundete Zahlen):

Es sind weit über 363000 befreundete Zahlenpaare bekannt.

Beispiel 4:

Die Inhaltskette von 12496 ist (12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496,...), hat eine Länge von und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 5 (diese 5 Zahlen sind gesellige Zahlen):

Dieser Zykel der Länge 5 ist der einzige bekannte. Es terminieren zum Beispiel die Inhaltsketten von 9464, 12032, 12496, 14264, 14288, 14536, 15472, 15476, 16312, 18922, ... in diesem Zykel.

Beispiel 5:

Die Inhaltskette von 14316 ist (14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716, 14316,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 28 (diese 28 Zahlen sind somit ebenfalls gesellige Zahlen).

s(14316) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 + 1193 + 2386 + 3579 + 4772 + 7158 = 19116 s(19116) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 27 + 36 + 54 + 59 + 81 + 108 + 118 + 162 + 177 + 236 + 324 + 354 + 531 + 708 + 1062 + 1593 + 2124 + 3186 + 4779 + 6372 + 9558 = 31704 s(31704) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 + 1321 + 2642 + 3963 + 5284 + 7926 + 10568 + 15852 = 47616 s(47616) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 31 + 32 + 48 + 62 + 64 + 93 + 96 + 124 + 128 + 186 + 192 + 248 + 256 + 372 + 384 + 496 + 512 + 744 + 768 + 992 + 1488 + 1536 + 1984 + 2976 + 3968 + 5952 + 7936 + 11904 + 15872 + 23808 = 83328 s(83328) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 12 + 14 + 16 + 21 + 24 + 28 + 31 + 32 + 42 + 48 + 56 + 62 + 64 + 84 + 93 + 96 + 112 + 124 + 128 + 168 + 186 + 192 + 217 + 224 + 248 + 336 + 372 + 384 + 434 + 448 + 496 + 651 + 672 + 744 + 868 + 896 + 992 + 1302 + 1344 + 1488 + 1736 + 1984 + 2604 + 2688 + 2976 + 3472 + 3968 + 5208 + 5952 + 6944 + 10416 + 11904 + 13888 + 20832 + 27776 + 41664 = 177792 s(177792) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 32 + 48 + 64 + 96 + 128 + 192 + 384 + 463 + 926 + 1389 + 1852 + 2778 + 3704 + 5556 + 7408 + 11112 + 14816 + 22224 + 29632 + 44448 + 59264 + 88896 = 295488 s(295488) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 + 18 + 19 + 24 + 27 + 32 + 36 + 38 + 48 + 54 + 57 + 64 + 72 + 76 + 81 + 96 + 108 + 114 + 144 + 152 + 162 + 171 + 192 + 216 + 228 + 243 + 288 + 304 + 324 + 342 + 432 + 456 + 486 + 513 + 576 + 608 + 648 + 684 + 864 + 912 + 972 + 1026 + 1216 + 1296 + 1368 + 1539 + 1728 + 1824 + 1944 + 2052 + 2592 + 2736 + 3078 + 3648 + 3888 + 4104 + 4617 + 5184 + 5472 + 6156 + 7776 + 8208 + 9234 + 10944 + 12312 + 15552 + 16416 + 18468 + 24624 + 32832 + 36936 + 49248 + 73872 + 98496 + 147744 = 629072 s(629072) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 39317 + 78634 + 157268 + 314536 = 589786 s(589786) = 1 + 2 + 294893 = 294896 s(294896) = 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 14 + 16 + 28 + 56 + 112 + 2633 + 5266 + 10532 + 18431 + 21064 + 36862 + 42128 + 73724 + 147448 = 358336 s(358336) = 1 + 2 + 4 + 8 + 11 + 16 + 22 + 32 + 44 + 64 + 88 + 176 + 352 + 509 + 704 + 1018 + 2036 + 4072 + 5599 + 8144 + 11198 + 16288 + 22396 + 32576 + 44792 + 89584 + 179168 = 418904 s(418904) = 1 + 2 + 4 + 8 + 52363 + 104726 + 209452 = 366556 s(366556) = 1 + 2 + 4 + 91639 + 183278 = 274924 s(274924) = 1 + 2 + 4 + 13 + 17 + 26 + 34 + 52 + 68 + 221 + 311 + 442 + 622 + 884 + 1244 + 4043 + 5287 + 8086 + 10574 + 16172 + 21148 + 68731 + 137462 = 275444 s(275444) = 1 + 2 + 4 + 13 + 26 + 52 + 5297 + 10594 + 21188 + 68861 + 137722 = 243760 s(243760) = 1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 11 + 16 + 20 + 22 + 40 + 44 + 55 + 80 + 88 + 110 + 176 + 220 + 277 + 440 + 554 + 880 + 1108 + 1385 + 2216 + 2770 + 3047 + 4432 + 5540 + 6094 + 11080 + 12188 + 15235 + 22160 + 24376 + 30470 + 48752 + 60940 + 121880 = 376736 s(376736) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 61 + 122 + 193 + 244 + 386 + 488 + 772 + 976 + 1544 + 1952 + 3088 + 6176 + 11773 + 23546 + 47092 + 94184 + 188368 = 381028 s(381028) = 1 + 2 + 4 + 95257 + 190514 = 285778 s(285778) = 1 + 2 + 43 + 86 + 3323 + 6646 + 142889 = 152990 s(152990) = 1 + 2 + 5 + 10 + 15299 + 30598 + 76495 = 122410 s(122410) = 1 + 2 + 5 + 10 + 12241 + 24482 + 61205 = 97946 s(97946) = 1 + 2 + 48973 = 48976 s(48976) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 3061 + 6122 + 12244 + 24488 = 45946 s(45946) = 1 + 2 + 22973 = 22976 s(22976) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 359 + 718 + 1436 + 2872 + 5744 + 11488 = 22744 s(22744) = 1 + 2 + 4 + 8 + 2843 + 5686 + 11372 = 19916 s(19916) = 1 + 2 + 4 + 13 + 26 + 52 + 383 + 766 + 1532 + 4979 + 9958 = 17716 s(17716) = 1 + 2 + 4 + 43 + 86 + 103 + 172 + 206 + 412 + 4429 + 8858 = 14316 ...

Dieser Zykel der Länge 28 ist der einzige bekannte. Es terminieren zum Beispiel die Inhaltsketten von 2856, 3360, 5784, 5916, 7524, 7860, 8736, 9052, 9204, 10328, 14316, 17496, ... in diesem Zykel.

weitere Beispiele: Die Inhaltsketten-Längen für die ersten 50 Zahlen n = 1, 2, 3, ... lauten: 2, 3, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 5, 5, 3, 8, 3, 6, 6, 7, 3, 5, 3, 8, 4, 7, 3, 6, 2, 8, 4, 1, 3, 16, 3, 4, 7, 9, 4, 5, 3, 8, 4, 5, 3, 15, 3, 6, 8, 9, 3, 7, 5, 4, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl 16. Das heißt, dass die Inhaltskette von n=30 eine Länge von 16 hat. Wenn man den Startwert bei den Inhaltsketten nicht dazuzählt, so lauten die Inhaltsketten-Längen für die ersten 50 Zahlen n = 1, 2, 3, ... wie folgt: 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl 15. Das heißt, dass die Inhaltskette von n=30 eine Länge von 15 hat, wenn man die Startzahl n=30 nicht dazuzählt. Man erhält immer eine um 1 kleinere Länge als in der Liste vorher, außer es handelt sich um eine nicht in 0 terminierende Inhaltskette. Der folgenden Liste kann man entnehmen, in welcher Zahl die Inhaltskette endet, bevor sie zu 1 und danach zu 0 wird (mit Ausnahme von n=1): 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl 3. Das heißt, dass die Inhaltskette von n=30 in der Primzahl 3 mündet, gefolgt von 1 und 0. Nun folgt die Liste der Zahlen n, deren Inhaltsketten letztendlich in 1 terminieren, gefolgt von 0: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl n=33. Das heißt, dass 30 von den ersten 33 Inhaltsketten in 1 münden. Umgekehrt bedeutet es, dass nur 3 der ersten 33 Inhaltsketten nicht in 1 münden, somit also in einer perfekten Zahl oder einem Zykel enden müssen (in diesem Fall die drei Zahlen 6, 25 und 28). Es folgt die Liste von Zahlen, die in einer perfekten Zahl (also 6, 28, 496, 8128, ...) terminieren, selbst aber nicht perfekt sind: 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... () Beispiel: An der 10. Stelle obiger Liste steht die Zahl n=652. Die Inhaltskette dieser Zahl mündet (schon an der 2. Stelle) in der perfekten Zahl 496. Es folgt die Liste von Zahlen, deren Inhaltskette in einem Zykel enden, der mindestens eine Länge von 2 hat (man sagt auch „Kette der Ordnung (von) mindestens 2“): 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, 2542, 2620, 2630, 2652, 2676, 2678, 2856, 2924, 2930, 2950, 2974, 3124, 3162, 3202, 3278, 3286, 3332, 3350, 3360, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl n=2856. Die Inhaltskette dieser Zahl mündet in dem (einzigen bekannten) Zykel der Länge 28, beginnend mit der Zahl 14316. Zuletzt folgt noch eine Liste von Zahlen, deren Inhaltsketten noch nicht vollständig bekannt sind, weil die Werte darin noch nicht faktorisiert werden konnten: 276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, 1512, 1560, 1572, 1578, 1590, 1632, 1650, 1662, 1674, 1722, 1734, 1758, 1770, 1806, 1836, ... () Beispiel: An der 30. Stelle obiger Liste steht die Zahl n=1488. Die Inhaltskette dieser Zahl ist bis zur 1635. Stelle bekannt und faktorisiert. Die 1636. Stelle dieser Inhaltskette ist eine 187-stellige Zahl, die bis jetzt noch nicht faktorisiert werden konnte.Inhaltskette von n=1488

Lehmer-Six und Lehmer-Five Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Henry Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt.fertig berechnete Inhaltskette von n=840 Sie terminiert an der 746. Stelle in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt. Den aktuellen Stand kann man der folgenden Tabelle entnehmen (Stand: 26. August 2022):