mini|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit rot markiertem Epsilonstreifen um die Grenzfunktion . Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt der Graph der gesamten Funktion in der rot markierten -Umgebung um die Grenzfunktion . In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge , mit einer vom Funktionsargument unabhängigen „Geschwindigkeit“ gegen eine Grenzfunktion zu konvergieren. Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, wichtige Eigenschaften der Funktionen (z. B. Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit) auf die Grenzfunktion zu übertragen.St. Goebbels, St. Ritter: Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum, Heidelberg 2011. ISBN 978-3-8274-2761-8, S. 360–369.
Geschichte Der Begriff wird üblicherweise Karl Weierstraß in den 1840er Jahren zugeschrieben (zuerst in einer Schrift 1841, die aber erst 1894 publiziert wurde), der ihn wiederum schon bei seinem Lehrer Christoph Gudermann (1838) angedeutet fand, und fehlte noch im ursprünglichen Aufbau der Analysis nach Augustin-Louis Cauchy. Das führte zu einigen Fehlern in Cauchys Cours d’Analyse von 1821, insbesondere beim sogenannten Cauchyschen Summensatz. Cauchy behauptete bewiesen zu haben, dass eine konvergente Reihe stetiger Funktionen stetig ist, wozu aber schon bald darauf 1826 Niels Henrik Abel ein Gegenbeispiel gab. Dass der Satz gilt, wenn punktweise Konvergenz durch gleichmäßige Konvergenz ersetzt wird (nach heutigem Verständnis), bewiesen unabhängig Philipp Ludwig Seidel (unendlich langsame Konvergenz)Seidel: Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen. In: Abhandlungen der Mathem.-Physikalische Classe der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 5, 1847, S. 381–394. Von Heinrich Liebmann 1900 in der Reihe Ostwalds Klassiker mit einem Aufsatz von Dirichlet (1837) neu herausgegeben. und George Gabriel Stokes 1847Stokes: On the critical values of sums of periodic series. 1847. In: Stokes, Mathematical and Physical Papers, Band 1, Cambridge UP, 1880, S. 237, (infinitely slow convergence, Punkte mit non uniform convergence). Seidel knüpfte dabei direkt an Cauchy und an Peter Gustav Lejeune Dirichlet an, der Beispiele von Fourierreihen gegeben hatte, die gegen unstetige Funktionen konvergieren. Stokes dagegen bezog sich nicht auf Cauchy, sondern auf einen Aufsatz über Potenzreihen von John Radford Young von 1846. Nach Ivor Grattan-Guinness kam möglicherweise der Schwede Emanuel G. Björling (1846/47) zu den beiden als Urheber des Konzepts hinzu. Es gab auch eine Diskussion darüber (Pierre Dugac 2003), ob Cauchy den Begriff (und den verwandten der gleichmäßigen Stetigkeit) schon wenig später 1823 in einem weiteren Lehrbuch kannte und implizit benutzte.In dem Buch von Klaus Viertel wird das bezweifelt, ebenso wie die Schlussfolgerung von Alfred Pringsheim in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften (1899) Cauchy hätte 1853 den Begriff gleichmäßige Konvergenz scharf definiert und unabhängig von Seidel und Stokes gefunden. Eine Gruppe von Mathematikhistorikern und Mathematikern wie Detlef Laugwitz und Abraham Robinson versuchte Cauchys Beweis später zu retten, indem die Idee verfolgt wurde, Cauchy, der selbst unendlich kleine Größen explizit in seinem Lehrbuch einführte, hätte eine Form von Nichtstandardanalysis benutzt, was sich aber bei den meisten Cauchy-Forschern nicht durchsetzte und als Beispiel einer aus moderner Sichtweise aufgezwungenen Interpretation der Mathematikgeschichte gewertet wurde. Klaus Viertel kam in seinem BuchKlaus Viertel: Geschichte der gleichmäßigen Konvergenz. Springer, 2014 zu einem differenzierteren Bild einer erst allmählichen Ausprägung der Begriffe von Stetigkeit und Konvergenz im heutigen Sinn selbst im Rahmen der Weierstraß-Schule, wo der Begriff ebenfalls im Lauf der Zeit einem Wandel unterworfen war. Anfang des 20. Jahrhunderts gab es bereits verschiedene Weiterentwicklungen des Begriffs (Quasi-Konvergenz bei Godfrey Harold Hardy 1918, William Henry Young 1903, 1907).
Definition mini|Gleichmäßige Konvergenz einer gestauchten Sinus-Funktion gegen eine konstante Grenzfunktion mit für alle (rot markierte Gerade). Der rot markierte Streifen kennzeichnet die -Umgebung der Funktion . Gegeben seien eine Funktionenfolge , die jeder natürlichen Zahl eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion . Alle sowie seien auf derselben Definitionsmenge definiert. Die Folge konvergiert genau dann gleichmäßig gegen , wenn
Man betrachtet hier die absolute Differenz von und für alle aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschränkt oder hat eine kleinste obere Schranke, ein Supremum. Gleichmäßige Konvergenz von gegen bedeutet, dass dieses Supremum für fast alle existiert und gegen Null geht, wenn gegen unendlich strebt.
Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren: Alle Bezeichnungen seien wie oben. Dann konvergiert gleichmäßig gegen genau dann, wenn für alle ein existiert, so dass für alle und für alle gilt:
Beispiel 1 Es sei eine reelle Zahl. Die Funktionenfolge konvergiert für gleichmäßig gegen die Nullfunktion . Dafür ist zu zeigen, dass . Jedes der ist auf nicht-negativ und monoton steigend, also und wegen geht dies gegen .
Die Angabe des Konvergenzbereiches ist hierbei unerlässlich: Die Folge konvergiert auf dem rechtsoffenen Einheitsintervall zwar immer noch punktweise gegen die Nullfunktion, jedoch nicht mehr gleichmäßig. Es gilt nun , insbesondere ist also .
Beispiel 2 – Gleichmäßige Konvergenz Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen mit:
Die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion , wobei für alle gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen das mit und man erhält für :
Animation – Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion
In der Animation wurde eine -Umgebung der Funktion in rot markiert. Ab der Indexschranke liegt der Graph der blauen Funktionen mit komplett für alle in der -Umgebung um die Funktion .
350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion – mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion – Animation mit Geogebra
Für das verwendete liegen die Funktion ab der Indexschranke in der -Umgebung um die Funktion .
Konvergenz im Funktionenraum Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen mit Definitionsbereich bgzl. der Supremumsnorm mit auffassen:
Die Ungleichung bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen zwischen Grenzfunktion und dem Folgenglied durch ab einer Indexschranke beschränkt ist.
Beispiel – Punktweise Konvergenz Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen mit:
Die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion , wobei für alle gilt. Man wählt dann zu einem festen und einem beliebigen das mit und man erhält:
Animation – punktweise Konvergenz Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen gegen die konstante Funktion mit . Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine -Umgebung mit um die konstante Funktion bzgl. der Supremumsnorm auf für .
center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert
Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge Die Funktion konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke gibt, ab der der Graph der Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich in der -Umgebung der konstanten Funktion mit für alle liegt. Der rot markierte Bereich kennzeichnet die -Umgebung um die konstante Funktion mit für alle .
Supremum der Abweichung Die Supremumsnorm der Abweichung von zu ist für alle unendlich, denn es gilt für gilt und damit gilt für die Supremumsnorm und alle :
Man erhält damit für alle auch . Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz nicht einmal für ein einziges möglich.
Vergleich zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz Die Wahl von bei gleichmäßiger Konvergenz hängt nur von ab. Im Gegensatz dazu hängt bei punktweiser Konvergenz sowohl von als auch von ab. Formuliert man beide Konvergenzbegriffe mithilfe von Quantoren, so sieht man, dass sie sich in der Position des Allquantors für unterscheiden. Bei der gleichmäßigen Konvergenz verlangt man, dass die Indexschranke unabhängig von der Wahl den Punkten gewählt werden kann, während man bei der punktweisen Konvergenz die Indexschranke zusätzlich in Abhängigkeit von dem gewählten Punkten gesucht wird und (wie bei der gleichmäßigen Konvergenz) nicht global für den gesamten Definitionsbereich . Der unterstrichenen Bereich der Quantoren soll die Position des Quantors „“ im Vergleich der beiden Konvergenzbegriffe deutlich machen. punktweise Konvergenz: und gleichmäßige Konvergenz:
d. h., für punktweise Konvergenz muss es für jedes und für jedes eine natürliche Zahl geben, so dass für alle gilt: .
Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Beispielsweise konvergiert die Funktionenfolge definiert durch
punktweise gegen die Nullfunktion für jedes , ist aber keine gleichmäßig konvergente Folge.
Bezeichnung Für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge , die gegen strebt, wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendetH. Heuser: Lehrbuch der Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart 1984, ISBN 3-519-22221-3, Teil 1, XIII., 103., 106.V. Zorich: Analysis II. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-46231-6.
oder
oder
Gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt
Eine Funktionenfolge heißt in dem Punkt gegen gleichmäßig konvergent, wenn
Wenn statt für alle die Gültigkeit der Ungleichung für mindestens ein verlangt wird, dann heißt die Konvergenz uniform. Gleichmäßig konvergente Folgen sind auch uniform konvergent. Die uniforme Konvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz.F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. 1914, Chelsea Publishing Co., New York 1949, Kap. IX, § 4.
Sei die Klasse der gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen, die Klasse der in jedem Punkt gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und die Klasse der in jedem Punkt punktweise konvergenten Funktionenfolgen.
Damit gilt: .
Die oben erwähnte Funktionenfolge liegt in , ist also in jedem Punkt gleichmäßig konvergent, aber nicht global.
Ein Beispiel für eine Funktionenfolge aus ist definiert durch
Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl liegt in allen , deren gleich oder größer ist als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches . Andererseits liegen im Schnitt einer und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem und jeder Zahl stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu beliebig klein ist und die nicht in liegen. Also konvergiert die Folge in keinem Punkt gleichmäßig.
Folgerungen Wie schon erwähnt, ermöglicht der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen über die Grenzfunktion, was bei punktweiser Konvergenz nicht möglich ist. Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben, sei ein reelles Intervall. Es ergeben sich folgende Sätze:
Stetigkeit
Es sei eine Folge stetiger Funktionen. Wenn gleichmäßig gegen konvergiert, dann ist stetig. Anstatt gleichmäßige Konvergenz zu fordern, ist es auch ausreichend, von quasi-gleichmäßiger Konvergenz auszugehen. Sei eine gegen punktweise konvergente Funktionenfolge. Alle seien noch dazu in stetig. ist in stetig genau dann, wenn in dem Punkt uniform konvergent ist. Die Menge der Punkte gleichmäßiger Konvergenz sowie die Menge der Punkte uniformer Konvergenz einer überall punktweise konvergenten Funktionenfolge sind jeweils Gδ-Mengen. Die gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen mit kompaktem Definitionsbereich sind alle gleichgradig stetig.