rechts|mini|hochkant=1.2|Die schwarz gezeichneten Ränder der farbig dargestellten Flächen sind Kegelschnitte.Der zweite Hyperbelast fehlt hier, weil nur ein einfacher Kegel und kein Doppelkegel (Spitze gegen Spitze) geschnitten wird.

Kegelschnitte sind spezielle Kurven, die durch den Schnitt der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene entstehen. Die wichtigsten Kegelschnittarten (reguläre oder nicht ausgeartete Kegelschnitte) sind die Ellipse (mit dem Kreis als Sonderfall), die Parabel und die Hyperbel. Diese drei Haupttypen ergeben sich dann, wenn die Ebene nicht durch die Spitze des Kegels geht. Verläuft dagegen die Schnittebene durch die Kegelspitze, so spricht man von ausgearteten Kegelschnitten.

Kegelschnitte haben viele charakteristische Eigenschaften, die als alternative Definitionen herangezogen werden können. Insbesondere werden Ellipse, Parabel und Hyperbel häufig in der zweidimensionalen Ebene ohne Rückgriff auf einen Kegel als Ortskurven definiert, für die gewisse Abstandsbedingungen gelten. Der Nachweis, dass die regulären Kegelschnitte (im Sinne von Schnittkurven) diese Bedingungen tatsächlich erfüllen, lässt sich ohne Rechnung mithilfe der Dandelinschen Kugeln führen.Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1977, S. 325 f.

Ein Kegelschnitt kann auch als zweidimensionaler Spezialfall einer Quadrik angesehen werden. Deren entsprechend verkürzte allgemeine Gleichung

wird auch als allgemeine Kegelschnitt(s)gleichung bezeichnet.

Einteilung der Kegelschnitte Bei der Definition eines Kegelschnitts wird meist ein Doppelkegel vorausgesetzt.Im Falle der Ellipse und der Parabel würde allerdings auch eine „Hälfte“ des Doppelkegels ausreichen. Als Mantellinien bezeichnet man die Geraden auf dem Doppelkegel, sie gehen alle durch die gemeinsame Spitze. Unter dem Öffnungswinkel des Doppelkegels versteht man den maximalen Winkel zwischen zwei Mantellinien.

Reguläre Kegelschnitte Von Bedeutung sind die Kegelschnitte, bei denen die Ebene nicht durch die gemeinsame Spitze des Doppelkegels geht. Über den Typ des Kegelschnitts entscheidet der Vergleich zweier Winkel: Halber Öffnungswinkel des Doppelkegels (Winkel zwischen einer Mantellinie und der Drehachse, in den Zeichnungen ) Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Drehachse des Doppelkegels (in den Zeichnungen )

1. Fall Ellipse

Ist der Schnittwinkel zwischen Ebene und Drehachse größer als der halbe Öffnungswinkel (), so entsteht eine Ellipse. Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve (ein Oval). Sie besitzt zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum (den Mittelpunkt der Ellipse).

Wichtiger Spezialfall: Bei einem Schnittwinkel von ist die Ellipse ein Kreis.

2. Fall Parabel

Sind die beiden genannten Winkel gleich groß (), so ist die Schnittkurve eine Parabel. Im Gegensatz zur Ellipse erstreckt sich eine Parabel ins Unendliche. Sie besitzt nur eine Symmetrieachse und kein Symmetriezentrum.

3. Fall Hyperbel

Ist der Schnittwinkel zwischen Ebene und Drehachse kleiner als der halbe Öffnungswinkel (), so entsteht eine Hyperbel. Eine Hyperbel besteht aus zwei Teilen (den Hyperbelästen), die sich ins Unendliche erstrecken. Wie die Ellipse hat die Hyperbel zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum (den Mittelpunkt der Hyperbel). Hyperbeln besitzen Asymptoten, salopp gesprochen „Tangenten im Unendlichen“.

Ausgeartete Kegelschnitte mini|350px|Ausgeartete Kegel- bzw. Zylinderschnitte:sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt

Geht die Ebene durch die gemeinsame Spitze des Doppelkegels, so können mehrere Sonderfälle auftreten, die man als ausgeartete oder zerfallende Kegelschnitte bezeichnet. Sich schneidendes Geradenpaar Paralleles Geradenpaar Gerade Punkt Leere Menge

Bemerkung: In der höheren Geometrie (nämlich der projektiven Geometrie) gelten parallele Linien als Geraden, die sich in einem unendlich fernen Punkt schneiden. Fasst man diesen Punkt als Kegelspitze auf, wird der Zylinder zu einem Spezialfall des Kegels.

Kegelschnitte als Ortskurven Die regulären Kegelschnitte lassen sich auch als Ortskurven (geometrische Örter) beschreiben, also als Mengen von Punkten der Ebene mit bestimmten Eigenschaften.

Definition durch Abstände von den Brennpunkten mini|250px|Hyperbel mit Brennpunkten mini|300px|Ellipse mit Brennpunkten

Ellipse und Hyperbel können mithilfe spezieller Punkte, der sogenannten Brennpunkte (hier mit und bezeichnet), definiert werden.

Die Punkte einer Ellipse sind dadurch gekennzeichnet, dass für sie die Abstandssumme konstant ist.

Entsprechend sind die Punkte einer Hyperbel durch eine konstante Abstandsdifferenz bestimmt.

ist dabei der Abstand eines Hauptscheitels vom Mittelpunkt (siehe Zeichnungen).

Definition durch Abstände von einem Brennpunkt und einer Leitlinie Bei einer weiteren Definition werden ein Punkt (Brennpunkt) und eine Gerade (Leitlinie oder Direktrix) als gegeben betrachtet. Die Punkte eines Kegelschnitts sind dadurch gekennzeichnet, dass für sie das Verhältnis zwischen dem Brennpunktsabstand und dem Leitlinienabstand gleich einem konstanten Wert ist.

Für ergibt sich eine Ellipse, für eine Parabel und für eine Hyperbel. Der Kreis () ist bei dieser Definition ein Grenzfall, mit Leitlinie im Unendlichen. Die geometrische Bedeutung von (numerische Exzentrizität) wird in den Artikeln zur Ellipse und zur Hyperbel erläutert.

Herleitung der Abstandsbedingungen Der Beweis, dass die Ortskurven (im Sinne von Schnittkurven zwischen Doppelkegel und Ebene) über die Abstände der Kurvenpunkte von Brennpunkten und Leitlinien beschrieben werden können, wird meist mit den Dandelinschen Kugeln geführt. Diese Kugeln haben ihren Mittelpunkt auf der Kegelachse und berühren sowohl den Doppelkegel als auch die Ebene, sind also einbeschriebene Kugeln. Die Punkte, in denen sich die Kugeln und die Ebene berühren, sind die Brennpunkte des Kegelschnitts. Die Schnittlinien zwischen der Schnittebene und den Ebenen mit dem Berührungskreis des Kegels sind die Leitlinien. Bedeutsam für die Beweisführung ist die Tatsache, dass für einen Punkt außerhalb einer Kugel alle Tangentenabschnitte (zwischen dem Punkt und dem Berührpunkt) gleich lang sind.

Kegelschnittgleichungen in Normalform Wenn man Gleichungen von Kegelschnitten in kartesischen Koordinaten aufstellen will, ist es sinnvoll, die Symmetrieeigenschaften auszunutzen, um einfache Gleichungen zu erhalten. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die Symmetrieachsen mit Koordinatenachsen übereinstimmen. Für Ellipse und Hyperbel folgt daraus, dass der Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Bei Parabeln wird die Gleichung am einfachsten, wenn der Scheitel als Ursprung genommen wird. Die folgende Auflistung enthält für die verschiedenen Typen solche Gleichungen (hier als Normalformen bezeichnet). Wegen ihrer Einfachheit eignen sich die Normalformen besonders gut für rechnerische Beweise von Kegelschnitteigenschaften.

Gleichungen für die regulären Kegelschnitte Ellipse mit Mittelpunkt und Halbachsen , Halbachse auf der x-Achse

Speziell für handelt es sich um einen Kreis mit Radius .

Hyperbel mit Mittelpunkt und Halbachsen , Halbachse auf der x-Achse

Speziell für handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel mit zueinander senkrechten Asymptoten.

Parabel mit Scheitel im Punkt , x-Achse als Symmetrieachse

Parabel mit Scheitel im Punkt , y-Achse als Symmetrieachse

Der Faktor ist gegeben durch , wobei den Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt bezeichnet.

Gleichungen für die ausgearteten Kegelschnitte Sich schneidendes Geradenpaar mit Schnittpunkt und Steigung

Paralleles Geradenpaar, parallel zur y-Achse im Abstand vom Ursprung

Gerade durch den Punkt , y-Achse (Doppelgerade)

Punkt , Ursprung

Leere Menge

Beweisidee für die Herleitung der Gleichungen Zur Herleitung der genannten Gleichungen werden meist die Abstandsbedingungen verwendet. Im Falle einer Ellipse sind die beiden Brennpunkte durch und gegeben, wobei für die lineare Exzentrizität, also den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt steht. Ein beliebiger Punkt der Ellipse wird durch ausgedrückt. Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich für die Brennpunktabstände folgende Rechenausdrücke angeben:

Setzt man diese Terme in die Abstandsbedingung

ein, so erhält man durch beidseitiges Quadrieren und weitere algebraische Umformungen die Gleichung . Durch Berücksichtigung der Beziehung (Pythagoras) ergibt sich, wie behauptet, .

Die Herleitung der Hyperbelgleichung erfolgt ganz entsprechend. Allerdings muss hier statt der Abstandssumme die Abstandsdifferenz verwendet werden. Außerdem gilt für die Hyperbel .

Bei der Herleitung der Parabelgleichung wird der Brennpunkt auf der y-Achse vorausgesetzt. ist dabei der Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitel. Die Leitlinie (parallel zur x-Achse) hat dann die Gleichung .

Gemäß der Leitlinieneigenschaft müssen die Abstände und

gleich sein. Durch beidseitiges Quadrieren entsteht die Parabelgleichung .

Allgemeine Kegelschnittgleichung Gleichung Geht man von einer der beschriebenen Normalformen einer Kegelschnittgleichung aus, so entsteht nach beliebigen Parallelverschiebungen und Drehungen des Koordinatensystems immer eine Gleichung des Typs .Manche Autoren setzen vor die Koeffizienten B, D und E den Faktor 2. Dadurch lassen sich in einigen Formeln Brüche mit dem Nenner 2 vermeiden. Alle Arten von Kegelschnitten, auch die ausgearteten, lassen sich durch eine solche Gleichung beschreiben. Ist mindestens einer der Koeffizienten , und verschieden von 0, so handelt es sich hier um eine Gleichung 2. Grades mit 2 Variablen. Umgekehrt beschreibt eine solche Gleichung immer einen Kegelschnitt.Bei dieser Aussage werden die Zylinderschnitte zu den Kegelschnitten gezählt. Daher nennt man diese Gleichung die allgemeine Kegelschnittgleichung.

Ermittlung der Kegelschnittart Aus der allgemeinen Kegelschnittgleichung lässt sich mithilfe der Invarianten

ermitteln, welcher Typ eines Kegelschnitts vorliegt. Dabei sind die Rechenausdrücke für und Determinanten. Die Bezeichnung Invarianten weist darauf hin, dass sich die Werte nicht ändern, wenn das Koordinatensystem verschoben oder gedreht wird.

Eine Ellipse liegt genau dann vor, wenn die Bedingungen , und erfüllt sind. Eine Hyperbel liegt genau dann vor, wenn die Bedingungen und erfüllt sind. Eine Parabel ist gekennzeichnet durch die Bedingungen und .

Kegelschnitte mit sind immer ausgeartet. Ist bekannt, dass eine gegebene Gleichung einen nicht ausgearteten Kegelschnitt beschreibt, so kann man an der Determinante schon erkennen, ob es sich um eine Ellipse (), eine Hyperbel () oder eine Parabel () handelt.

Hauptachsentransformation Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet . Es wird angenommen, dass es sich um eine Gleichung 2. Grades handelt. Damit ist der Fall ausgeschlossen, in dem die Gleichung eine Gerade oder die ganze euklidische Ebene oder die leere Menge beschreiben würde. hochkant=1.4|mini|Ellipse: Hauptachsentransformation Im Folgenden soll gezeigt werden, wie eine beliebige Gleichung dieses Typs in eine der oben angegebenen Normalformen umgewandelt werden kann. Dieses Ziel lässt sich durch die sogenannte Hauptachsentransformation erreichen. Sie besteht aus zwei einzelnen Transformationen: Drehung des Koordinatensystems zur Beseitigung des gemischten Glieds Verschiebung des Nullpunktes (Translation) derart, dass – falls möglich – die linearen Terme und verschwinden Auch die umgekehrte Reihenfolge ist möglich.

1. Schritt (Drehung) Falls gilt, wird das Koordinatensystem um einen Winkel gedreht. Der Ursprung ändert sich in diesem Schritt nicht. Die Drehung lässt sich beschreiben durch die Koordinatentransformation

Die Forderung, dass das gemischte Glied wegfallen soll, führt zur Bedingung