Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form . Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer alle Zahlen dieser Form bis zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle bis zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für .

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von und alle Cullen-Zahlen von bis zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass und ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen mit zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen für folgende bekannt: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … () Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit , sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob und gleichzeitig prim sein darf.

Eigenschaften von Cullen-Zahlen Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form , wobei eine Primzahl der Form sein muss. Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn eine ungerade Primzahl ist, ein Teiler von sein muss mit für .

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl teilt die Cullen-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.

Die Primzahl teilt die Cullen-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.

Verallgemeinerte Cullen-Zahlen Zahlen der Form mit bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.

Die kleinsten , für die prim ist, sind für aufsteigendes = 1, 2, …: 1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … ()

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von zwischen 1 und 30. Diese wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für die Bedingung nicht gilt, aber trotzdem die Zahl prim ist, wird sie in Klammern gesetzt: b n, sodass n・bn + 1 prim ist untersucht bis OEIS-Folge1 alle Primzahlen minus 1, d. h.:1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, … alle Primzahlen21, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …1370548132, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, …12000004(1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, …25000051242, 18390, …3795756(1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, …200000734, 1980, 9898, …2556818(5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, …1666669(2), 12382, 27608, 31330, 117852, …22243110(1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, …2700261110, …60000012(1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, …25451913…100000014(3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, …24692215(8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, …13614916(1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, …1250001719650, 236418, …28126118(1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, …203597196460, …30577720(3), 6207, 8076, 22356, 151456, …21997621(2, 8), 26, 67100, …27409922(1, 15), 189, 814, 19909, 72207, …137649234330, 89350, …17756724(2, 8), 368, …134188252805222, …50000026117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, …14762627(2), 56, 23454, …, 259738, …21541328(1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, …20061829…50000030(1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, …101757 Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist . Sie hat 7 451 366 Stellen und wurde am 17. April 2025 von Mark Williams, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.

Siehe auch Woodall-Zahl

Literatur J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks Cullen Numbers Woodall Numbers

Einzelnachweise

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