mini|Saitenschwingung, Grundschwingung und Obertöne Die Saitenschwingung dient bei Saiteninstrumenten wie Geige, Gitarre oder Klavier zur Klangerzeugung. Nach Anregung durch Streichen, Zupfen oder Anschlag vollführt die Saite eine gedämpfte harmonische Schwingung, wobei sich eine stehende Transversalwelle ausbildet.
Physikalische Grundlagen
Grundlegendes
Eine Saite ist physikalisch ein im Wesentlichen zylindrisch geformtes Element, das im Vergleich zur Länge sehr dünn und dadurch biegeweich ist. An ihren beiden Enden wird die Saite gehaltert und durch gegenläufige Zugkräfte – hier Spannkraft genannt – gespannt. Die Schwingung einer Saite wird im Wesentlichen durch ihre radiale Auslenkung gegen die aus der axial wirkende Spannkraft und der Elastizität der Saite resultierenden Rückstellkraft, und ihre Schwungmasse charakterisiert. Die Halterungen können jeweils steif oder flexibel ausgeführt sein, die Spannkraft kann variiert werden. Saiten von Musikinstrumenten erzeugen Laute, durch Mitnahme von umgebender Luft, den Halterungen oder akustische Wirkung auf Mikrophone oder (ferro)elektromagnetische Wirkung auf geeignete Tonabnehmer. Das Abstützen einer Saite kann dazu dienen Schwingung abzuleiten. Das Abgreifen einer Saite kann dazu dienen die schwingende Länge(n) zu verkürzen, die Saite zu dehnen. Angeregt wird eine Saite durch Streichen, Umfließen mit einem Fluid, Zupfen, Schlagen oder schlagendem Abgreifen auf einen Bund/Steg hin. Mitklingende Saiten werden durch Schwingung von Luft und Instrument angeregt.
Schwingungselemente, die eher kurz und steifer sind, können zylindrisch oder brettförmig sein und schwingen aus ihrer Biegeelastizität heraus als Biegeschwinger und grenzen sich dadurch von den Saiten ab. Biegeelastizität spielt nur eine Randerscheinung an Saiten: Nahe den Orten der Halterung, Abstützung oder Abgriff oder auch des Streichens; temporär auch beim Anschlag oder Zupfen und Auslassen.
Betrachtung der Schwingung
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit (m/s) der entlang der Saitenlänge hin- und rücklaufenden Welle (nicht zu verwechseln mit der Schnelle , mit der die Saite an einem Punkt quer schwingt) bestimmt sich aus Spannkraft (N = kg · m / s2) (griechischer Buchstabe Psi) Saitendurchmesser (m) und Materialdichte (kg / Kubikmeter) (rho)
zu:
(F. 1) . Diese Formel (F. 1) lässt sich vereinfachen durch die Einführung der – flächenbezogenen – Zugspannung (Pa = kg · m−1 · s−2) (sigma) Diese berechnet sich aus Spannkraft auf die kreisförmige Saitenquerschnittsfläche (m²)
Daraus folgt umgekehrt für die Spannkraft:
Durch Einsetzen für in Formel (F. 1) gelangt man kürzend zur einfachen Form (F. 1A) .
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle steht in Zusammenhang mit Wellenlänge (lambda) Schwingungsperiode (tau) bzw. Frequenz :
Mit der Saitenlänge entsteht eine Grundschwingung, bei der die – einzigen zwei – Schwingungsknoten an den Enden der Saite liegen, die Wellenlänge ist somit die doppelte Saitenlänge (). Für die Frequenz gilt:
Wenn man an Stelle der Materialdichte den Massebelag (kg pro m) zu Grunde legt, erhält man für
Damit ergeben sich folgende Abhängigkeiten, die in Musikinstrumenten beim Stimmen oder Spielen auch praktisch genutzt werden: je kürzer die (schwingende) Saitenlänge , desto höher die Frequenz (halbe Länge ergibt doppelte Frequenz). je höher die Spannkraft , desto höher die Frequenz (vierfache Kraft ergibt doppelte Frequenz). je dünner die Saite, desto höher die Frequenz (halber Durchmesser ergibt doppelte Frequenz).
Es ist erkennbar, dass der Massebelag nur mit der Wurzel eingeht, das heißt, man muss eine Saite bis zur vierfachen Masse pro Länge umspinnen, um ihre Resonanzfrequenz zu halbieren. Daher werden Metalle mit hoher Dichte (Kupfer, Silber) verwendet, um tiefe Töne mit kurzen, nicht zu dicken Saiten zu erreichen.
Saiten haben eine amplitudenabhängige Resonanzfrequenz, da sich die mittlere Spannkraft bei größeren Amplituden erhöht. Dieser Effekt tritt insbesondere bei geringer Spannkraft auf und führt dazu, dass die tiefen Saiten eines Instrumentes höher tönen, wenn sie stark angestrichen oder gezupft werden.
Die Schwingungsgleichung
mini|hochkant=2|Darstellung zur Herleitung der Wellengleichung der ungedämpften, transversalen Saitenschwingung
Eine reale Saite schwingt mit nahezu unendlich vielen „harmonischen Oberschwingungen“, die in dem Bild bis zur siebenten Oberschwingung dargestellt sind. Ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung. Die Amplituden der Oberschwingungen, das sind ihre Schwingungsweiten, bestimmen den Klang, die so genannte Klangfarbe der Schwingung. Die Verteilung der Amplituden über die Oberschwingungen nennt man das Frequenz-Spektrum des Klanges.
Pythagoras wird zugeschrieben, als Erster erkannt zu haben, dass sich Töne um eine Oktave unterscheiden, wenn die Länge der Saite (bei gleicher Spannkraft ) verdoppelt oder halbiert wird, und dass auch andere Intervalle sich in Verhältnissen der Saitenlänge widerspiegeln. Als Folge benutzte er die Länge der Saite als Maß für die Tonhöhe. Heute wird nicht die Saitenlänge, sondern die Frequenz als Maß für die Tonhöhe verwendet. Die Frequenz ist umgekehrt proportional zur Saitenlänge und die Oktave entspricht einer doppelt so großen Frequenz. Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz ermöglichte eine umfassendere theoretische Beschreibung einer schwingenden Saite. Von Marin MersenneMarin Mersenne: Harmonicorum libri. 1636. und Joseph Sauveur stammen die ersten Erklärungsversuche dazu. Brook TaylorBrook Taylor: Methodus Incrementorum Directa et Inversa. London 1717, als digitale Ausgabe bei der Staatsbibliothek Hamburg erhältlich. war der erste, der zu einer Darstellung der Grundschwingung gelangte, obwohl ihm die heutigen Methoden zum Aufstellen und Lösen von partiellen Differentialgleichungen noch nicht zur Verfügung standen. Zum Teil auf Taylors Arbeit aufbauend arbeiteten unter anderem Johann I Bernoulli,Johann Bernoulli: Meditationes de cordis vibrantibus. Opera Omina, Tom. II. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert,Jean-Baptiste le Rond d’Alembert: Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration. Histoire de l’academie Royale de science et belle lettre année, 1747. Leonhard EulerLeonhard Euler: Sur la vibration de cordes. Histoire de l’academie Royale de science et belle lettre année, 1748. weiter an dem Problem. Durch die Erkenntnis der Existenz der Oberschwingungen gelangt Daniel BernoulliDaniel Bernoulli: Reflexions et Eclaircissemens sur le nouvelles vibrations des cordes. Histoire de l’Académie de Berlin IX, 1753. zur vollständigen Lösung des Problems. Zwei Oberschwingungen hatte zwar auch Mersenne schon beschrieben, der Gedanke wurde aber nicht weiter verfolgt.
Daniel Bernoulli beschreibt Beobachtungen und Experimente mit verschiedenen Musikinstrumenten, Trompeten, Flöten und Saiteninstrumenten, und folgert daraus: „… dass alle schwingenden Körper eine Unmenge von Tönen von sich geben … In der Tat stimmen alle Musiker darin überein, dass eine gezupfte Saite außer ihrem Grundton zugleich auch noch andere, sehr viel hellere Töne von sich gibt … Dies ist der offensichtliche Beweis dafür, dass sich in einer und derselben Saite eine Überlagerung mehrerer Arten Taylorscher Schwingungen zugleich einstellen kann“.Daniel Bernoulli, ebenda, S. 181. Dieser „völlig neue und nicht nur das Problem der schwingenden Saite klärende, sondern auch die ganze mathematische Physik revolutionierende Gedanke Daniel Bernoullis war der Aufbau der allgemeinen Lösung durch Superposition [Überlagerung] von Einzellösungen“.István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel / Boston / Berlin 1987, ISBN 978-3-0348-9980-2, S. 339.
Euler hielt die Lösung von Bernoulli für unvollständig, da er nicht glaubte, dass sich jede Anfangssituation (die Art des Anreißens der Saite) zu einer Schwingung entwickeln könne, die durch die Summe geeigneter Sinus-Funktionen darstellbar sei. In der Tat wurde der Beweis dafür erst durch die Arbeiten von Joseph Fourier (Fourier-Analyse) zur Wärmelehre möglich.
Ein Grundgedanke Brook Taylors war die (richtige) Annahme, dass die Krümmung (kappa) in einem Punkt der Saite an einer beliebigen Stelle der Beschleunigung dieses Punktes proportional sei:Brook Taylor, ebenda, Lemma IX, S. 88.
Dabei ist die Funktion, welche die Lage der Saite am Ort und zum Zeitpunkt beschreibt und
ihre zweite partielle Ableitung nach der Zeit (die Beschleunigung an der Stelle zum Zeitpunkt , ist ein noch unbestimmter Proportionalitätsfaktor). Die Krümmung ist gegeben durch
Hier sind und die erste bzw. die zweite partielle Ableitung von nach . Wenn die Saite nur wenig aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird, lässt sich in guter Näherung setzen und man erhält Aus der obigen Proportionalitätsgleichung wird damit:
oder, ausführlicher
Das ist die partielle Differentialgleichung der schwingenden Saite, bekannt als D’Alembert- oder homogene Wellengleichung. Die Gleichung beschreibt ungedämpfte Schwingungen, d. h., dass darin das Abklingen einer Schwingung, also das Leiserwerden des Tones, nicht berücksichtigt ist.
Die Lösung
ist aus der Theorie partieller Differentialgleichungen bekannt. Darin sind die unbekannten Größen noch zu bestimmen.
Bestimmung von α und x₀
Wir bezeichnen die Länge der frei schwingenden Saite mit Die Saite ist bei und bei eingespannt, dort ist für jede Zeit die Auslenkung
Da nicht konstant Null ist und unsinnig wäre (es würde die ruhende Saite darstellen) ist
wäre genauso unsinnig wie , also ist Aus Gl. 1 wird also
Was für gilt, gilt genauso für :
Also ist und (mit beliebigem ), folglich Aus Gl 2. wird dann
Wenn die Saite zum Zeitpunkt ihre Ruhelage einnimmt, erhalten wir analog und aus Gl. 3 wird
ist offenbar eine Kreisfrequenz, wir setzen mit noch unbestimmter Schwingungsdauer So erhalten wir
Die sind für jedes eine Lösung der Gl. 1, also auch die Summe aller D. h., dass
die vollständige Lösung der Gl. 1 mit noch unbestimmtem ist. Die sind die Amplituden der Oberschwingungen. Sie hängen z. B. vom Material der Saite (Stahl, Darm, Kunststoff), umsponnen oder nicht, von der Spannung der Saite, von der Art des Anreißens der Seite (Daumen oder Plektron), vom Ort des Anreißens (in der Mitte oder über dem Schallloch) und von Form, Größe und Material des Klangkörpers ab. Außerdem klingt der Ton ab, d. h., dass die Amplituden kleiner werden. Die einzelnen Amplituden werden im Allgemeinen verschieden stark gedämpft, sie klingen also nicht alle in derselben Weise ab, der Ton kann unmittelbar nach dem Anreißen anders klingen als etwas später.
Bestimmung von τ
Zu der Aussage über die Frequenz der Schwingung bzw. ihrer Schwingungsdauer gelangt man durch den Zusammenhang zwischen der Frequenz , der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle:
Aus der Elastizitätstheorie kennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einer gespannten Saite (s. ganz oben):
Für die Grundschwingung ist die Wellenlänge Mit erhalten wir aus :
also
oder
Zur Erinnerung: ist die Frequenz der Grundschwingung, ist ihre Schwingungsdauer, die Länge der Saite, ihr Durchmesser, ihre Dichte, also Masse pro Volumen, und die Spannkraft der Saite. Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.
Mathematische Beschreibung der gezupften Saite
Ungedämpfte Schwingung