Oppervlakte of area is die maat van die grootte van 'n gebied op 'n oppervlak. Die oppervlakte van 'n gebied in die platvlak word soms die vlakoppervlakte genoem, terwyl oppervlakarea na die oppervlakte van 'n oop oppervlak of van die grens van 'n driedimensionele voorwerp verwys. Oppervlakte kan verstaan word as die hoeveelheid materiaal van 'n gegewe dikte wat nodig sou wees om 'n model van die vorm te maak, of as die hoeveelheid verf wat nodig is om die oppervlak met een laag te bedek. Dit is die tweedimensionele eweknie van die lengte van 'n kromme – 'n eendimensionele begrip – en van die volume van 'n vaste liggaam, wat driedimensioneel is.
Die oppervlakte van 'n vorm kan gemeet word deur die vorm met vierkante van 'n vaste grootte te vergelyk. In die Internasionale Stelsel van Eenhede is die standaardeenheid van oppervlakte die vierkante meter, die oppervlakte van 'n vierkant waarvan die sye een meter lank is. In die wiskunde word die eenheidsvierkant per definisie 'n oppervlakte van een gegee, en die oppervlakte van enige ander vorm of oppervlak is dan 'n dimensielose reële getal.
Daar bestaan verskeie bekende formules vir die oppervlaktes van eenvoudige vorme soos driehoeke, reghoeke en sirkels. Met dié formules kan die oppervlakte van enige veelhoek bepaal word deur die veelhoek in driehoeke te verdeel. Vir vorme met geboë grense is die calculus gewoonlik nodig om die oppervlakte te bereken, en die probleem om die oppervlaktes van plat figure te bepaal, was inderwaarheid een van die belangrikste dryfkragte agter die historiese ontwikkeling van die calculus.
Twee verskillende gebiede kan dieselfde oppervlakte hê, en die woord "oppervlakte" word soms self vir die gebied gebruik eerder as vir sy grootte. Die oppervlakte, simbool A, dui die grootte van 'n tweedimensionele gebied aan. Die term oppervlakte word ook dikwels gebruik om die grootte van 'n stuk grond ('n plaas, erf of 'n land) aan te dui.
Die term oppervlakarea verwys na die totale oppervlakte van die ontblote oppervlaktes van 'n driedimensionele ruimteliggaam, soos die som van die oppervlaktes van die sye van 'n poliëder (veelvlak).
Formele definisie Een benadering om te bepaal wat met "oppervlakte" bedoel word, is deur middel van aksiomas. Oppervlakte kan gedefinieer word as 'n funksie a vanaf 'n versameling M van besondere soorte plat figure – die sogenaamde meetbare versamelings – na die versameling reële getalle, wat aan die volgende eienskappe voldoen: Vir alle S in M geld a(S) ≥ 0. Indien S en T in M is, is S ∪ T en S ∩ T ook daarin, en geld a(S ∪ T) = a(S) + a(T) − a(S ∩ T). Indien S en T in M is met S ⊆ T, is T − S in M en geld a(T − S) = a(T) − a(S). Indien 'n versameling S in M is en S kongruent aan T is, is T ook in M en geld a(S) = a(T). Elke reghoek R is in M. Indien die reghoek lengte h en breedte k het, is a(R) = hk. Laat Q 'n versameling wees wat tussen twee trapgebiede S en T ingesluit is, met S ⊆ Q ⊆ T, waar 'n trapgebied uit 'n eindige vereniging van aangrensende reghoeke op 'n gemeenskaplike basis bestaan. Indien daar 'n unieke getal c is sodat a(S) ≤ c ≤ a(T) vir alle sulke trapgebiede S en T, dan is a(Q) = c.
Daar kan bewys word dat so 'n oppervlaktefunksie wel bestaan.
Geskiedenis Die oppervlakte van 'n sirkel In die 5de eeu v.C. was Hippokrates van Chios die eerste wat aangetoon het dat die oppervlakte van 'n skyf – die gebied wat deur 'n sirkel ingesluit word – proporsioneel is aan die kwadraat van sy deursnee, as deel van sy kwadratuur van die maantjie van Hippokrates; hy het egter nie die proporsionaliteitskonstante bepaal nie. Eudoxus van Knidos het, ook in die 5de eeu v.C., bevind dat die oppervlakte van 'n skyf proporsioneel is aan die kwadraat van sy radius.
Boek I van Euklides se Elemente het daarna oor die gelykheid van oppervlaktes tussen tweedimensionele figure gehandel. Die wiskundige Archimedes het die hulpmiddels van die Euklidiese meetkunde gebruik om in sy werk Die meting van 'n sirkel te bewys dat die oppervlakte binne 'n sirkel gelyk is aan dié van 'n reghoekige driehoek waarvan die basis die lengte van die sirkel se omtrek het en waarvan die hoogte gelyk is aan die sirkel se radius. Aangesien die omtrek 2πr is en die oppervlakte van 'n driehoek die helfte van die basis maal die hoogte, lewer dit die oppervlakte πr² vir die skyf. Archimedes het die waarde van π benader met sy verdubbelingsmetode, waarin hy 'n reëlmatige driehoek in 'n sirkel ingeskryf het en die oppervlakte daarvan bepaal het, en toe die aantal sye herhaaldelik verdubbel het sodat die veelhoek se oppervlakte al nader aan dié van die sirkel gekom het.
Vierhoeke en veelhoeke In die 7de eeu n.C. het Brahmagupta 'n formule ontwikkel – vandag bekend as Brahmagupta se formule – vir die oppervlakte van 'n sikliese vierhoek, dus 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is, in terme van sy sye. In 1842 het die Duitse wiskundiges Carl Anton Bretschneider en Karl Georg Christian von Staudt onafhanklik van mekaar 'n formule gevind vir die oppervlakte van enige vierhoek.
Die ontwikkeling van Cartesiese koördinate deur René Descartes in die 17de eeu het Gauss in die 19de eeu in staat gestel om die landmetersformule vir die oppervlakte van enige veelhoek met bekende hoekpunte te ontwikkel.
Oppervlaktes met die calculus bepaal Die ontwikkeling van die integraalrekening in die laat 17de eeu het hulpmiddels verskaf waarmee ingewikkelder oppervlaktes bereken kon word, soos die oppervlakte van 'n ellips en die oppervlakareas van verskeie geboë driedimensionele voorwerpe.
Eenhede Die SI-eenheid van oppervlakte is die vierkante meter, m2. Dit is 'n afgeleide eenheid van die SI-eenheid meter. (Vir 'n lys van SI-eenhede sien SI-stelsel.)
Elke lengte-eenheid het 'n ooreenstemmende oppervlakte-eenheid, naamlik die oppervlakte van 'n vierkant met daardie sylengte. Oppervlaktes kan dus in vierkante meter (m²), vierkante sentimeter (cm²), vierkante millimeter (mm²), vierkante kilometer (km²), vierkante voet, vierkante jaart, vierkante myl en so meer gemeet word. Algebraïes kan dié eenhede as die kwadrate van die ooreenstemmende lengte-eenhede beskou word.
Omskakelings Omdat oppervlakte die produk van twee lengtes is, is die omskakelingsfaktor tussen twee oppervlakte-eenhede die kwadraat van die faktor tussen die ooreenstemmende lengte-eenhede. Hoewel daar 10 mm in 1 cm is, is daar dus 100 mm² in 1 cm². Nuttige omskakelings in die metrieke stelsel is: 1 vierkante kilometer = 1 000 000 vierkante meter; 1 vierkante meter = 10 000 vierkante sentimeter = 1 000 000 vierkante millimeter; 1 vierkante sentimeter = 100 vierkante millimeter.
Dieselfde beginsel geld vir nie-metrieke eenhede. Aangesien 1 voet = 12 duim, is 1 vierkante voet = 144 vierkante duim, waar 144 = 12². Net so is 1 vierkante jaart = 9 vierkante voet en 1 vierkante myl = 3 097 600 vierkante jaart of 27 878 400 vierkante voet. Verdere omskakelingsfaktore is: 1 vierkante duim = 6,4516 vierkante sentimeter; 1 vierkante voet = 0,092 903 04 vierkante meter; 1 vierkante jaart = 0,836 127 36 vierkante meter; 1 vierkante myl = 2,589 988 110 336 vierkante kilometer.
Ander eenhede, ook historiese Die aar was die oorspronklike oppervlakte-eenheid van die metrieke stelsel, met 1 aar = 100 vierkante meter. Hoewel die aar in onbruik geraak het, word die hektaar steeds algemeen gebruik om grond te meet: 1 hektaar = 100 aar = 10 000 vierkante meter = 0,01 vierkante kilometer. Die akker word ook algemeen vir grondoppervlaktes gebruik, met 1 akker = 4 840 vierkante jaart of 43 560 vierkante voet; 'n akker is ongeveer 40 % van 'n hektaar.
Op atoomskaal word oppervlakte in barn gemeet, met 1 barn = 10−28 vierkante meter. Die barn word algemeen gebruik om die deursnee-oppervlakte van wisselwerking in die kernfisika te beskryf.
In Suid-Afrika was die morg histories die belangrikste eenheid vir grondoppervlakte, en dit word steeds in ouer aktes en opmetings aangetref. Die Kaapse (Rynlandse) stelsel het op die Kaapse voet berus: 144 Kaapse vierkante voet maak 'n Kaapse vierkante roede, en 600 Kaapse vierkante roede 'n morg, wat op sowat 0,856 532 hektaar neerkom. Met die oorskakeling na die metrieke stelsel is die oppervlaktes in aktes na vierkante meter en hektaar omgereken.
+Eenhede vir die meet van oppervlak area sluit in:MetriesVS & Britse eenhedeKaapse eenhedevierkante meter (m2) = SI afgeleide eenheidvierkante voet = 144 vierkante duim = 0,092 903 04 vierkante meter (m2)Kaapse vierkante voet = 0,099136 vierkante meter (m2) = 1,067089 vierkante voet (VK/VS)aar (a) = 100 vierkante meter (m2)vierkante jaart = 9 vierkante voet = 0,836 127 36 vierkante meter (m2)Kaapse vierkante roed = 144 Kaapse vierkante voet = 14,19 vierkante meter (m2)hektaar (ha) = 10 000 vierkante meter (m2)vierkante roede = 30,25 vierkante jaart = 25,292 852 6 vierkante meter (m2)morg = 600 Kaapse vierkante roede = 0,856 532 hektaar (ha).vierkante kilometer (km2) = 1 000 000 vierkante meter (m2)akker = 160 vierkante roede of 4 840 vierkante jaart = 4 046,856 442 4 vierkante meter (m2)vierkante megameters (Mm2) = 1012 vierkante meter (m2)vierkante myl = 640 akker = 2,589 988 110 3 vierkante kilometer (km2)
Vergelykings Oppervlakte kan as volg bereken word: (gebied in die platvlak) (oppervlak in die ruimte), waar daar oor die gebied of oor die oppervlak geïntegreer word. 'n Drievoudige integraal lewer nie 'n oppervlakte nie maar 'n volume.
Nuttige formules
2D regs|200px|Tweedimensionale areas + Algemene vergelykings van verskeie tweedimensionale voorwerpe: Vorm Vergelyking VeranderlikesVierkant is die lengte van die kant van die vierkant.Reëlmatige seshoek is die lengte van een kant van die seshoek.Reëlmatige aghoek is die lengte van een kant van die aghoek.Enige reëlmatige poligoon (veelhoek) is die kortstraal, of die radius van 'n ingeskrewe sirkel in die poligoon, en is die omtrek van die poligoon.Enige reëlmatige poligoon (veelhoek) is die Omtrek en is die aantal kante.Enige reëlmatige poligoon (met gebruik van graadmeting) is die Omtrek en is die aantal kante.Reghoek en is die lengtes van die reghoek se kante (lengte en breedte).Parallelogram (in algemeen) en is die lengte van die basis en die lengte van die loodregte hoogte, onderskeidelik.Rombus en is die lengtes van die twee hoeklyne van die rombus.Driehoek en is die basis en hoogte (gemeet loodreg na die basis), onderskeidelik.Driehoekwaar (formule van Heron).Driehoek en van enige twee kante, en is die hoek tussen hulle.Sirkel, of is die radius en die diameter.Ellips en is die halwe hoofas en die halwe kortas, onderskeidelik.Trapesoïed en is die parallelle sye en die afstand (hoogte) tussen hulle.Sirkelvormige sektor en is die radius en die hoek (in radiane), onderskeidelik.Vierkant na sirkelvormige area omskakeling is die area van die vierkant in vierkante eenhede.Sirkelvormige na vierkante area omskakeling is die area van die sirkel in sirkeleenhede.
3D