Grigori Yakovlevich Perelman (geb. 13 Junie 1966) is 'n Russiese wiskundige bekend vir sy bydrae tot die velde van meetkundige analise, Riemannmeetkunde, en meetkundige topografie. In 2005 het Perelman sy navorsing by Steklov Institute of Mathematics gestaak, en in 2006 sy verleentheid uitgespreek oor die stand van etiek in internasionale professionele wiskunde. Hy woon in St. Petersburg, en weier sedertdien enige media-onderhoude.
In Augustus 2006 is Perelman die Fields-medalje aangebied vir "sy bydraes tot meetkunde en sy revolusionêre insigte in die analitiese en geometriese struktuur van die Ricci-vloei", maar hy het die toekenning van die hand gewys en gesê: "Ek stel nie belang in geld of roem nie; ek wil nie soos 'n dier in 'n dieretuin vertoon word nie." Op 22 Desember 2006 het die wetenskaplike tydskrif Science Perelman se bewys van die Poincaré-vermoede erken as die wetenskaplike "Deurbraak van die Jaar", die eerste sodanige erkenning in die gebied van wiskunde.
Op 18 Maart 2010 is aangekondig dat hy aan die kriteria voldoen het om die eerste Clay Millennium-prys te ontvang vir die oplossing van die Poincaré-vermoede. Op 1 Julie 2010 het hy die prys van een miljoen dollar verwerp en gesê dat hy die besluit van die direksie van die Clay Institute as onregverdig beskou, deurdat sy bydrae tot die oplossing van die Poincaré-vermoede nie groter was as dié van Richard S. Hamilton, die wiskundige bekend vir die Ricci-vloei nie. Hy het voorheen die gesogte prys van die European Mathematical Society in 1996 verwerp.
Vroeë lewe en opvoeding Grigori Yakovlevich Perelman is gebore in Leningrad, Sowjetunie (nou Sint Petersburg, Rusland) op 13 Junie 1966, vir Joodse ouers, Yakov (wat nou in Israel woon) en Lyubov (wat steeds in Sint Petersburg saam met Grigori woon). Grigori se ma Lyubov het gegradueerde werk in wiskunde opgegee om hom groot te maak. Grigori se wiskundige talent het op die ouderdom van tien duidelik geword, en sy ma het hom ingeskryf vir Sergei Rukshin se naskoolse wiskunde-opleidingsprogram.
Sy wiskundige opleiding het voortgegaan by die Leningrad Sekondêre Skool 239, 'n gespesialiseerde skool met gevorderde wiskunde- en fisikaprogramme. Grigori het uitgeblink in alle vakke behalwe liggaamlike opvoeding. In 1982, as 'n lid van die Sowjetunie -span wat aan die Internasionale Wiskundige Olimpiade deelneem, 'n internasionale kompetisie vir hoërskoolleerlinge, het hy 'n goue medalje gewen en 'n perfekte telling behaal. Hy het voortgegaan as 'n student van die Skool vir Wiskunde en Meganika aan die Leningrad Staatsuniversiteit, sonder toelatingseksamens, en by die universiteit ingeskryf.
Nadat hy sy doktorsgraad in 1990 voltooi het, het Perelman begin werk by die Leningrad Departement van Steklov Instituut vir Wiskunde van die USSR Akademie vir Wetenskappe, waar sy raadgewers Aleksandr Aleksandrov en Yuri Burago was. In die laat 1980's en vroeë 1990's, met 'n sterk aanbeveling van die meetkundige Mikhail Gromov, het Perelman navorsingsposte by verskeie universiteite in die Verenigde State verwerf. In 1991 het Perelman die Young Mathematician-prys van die St. Petersburg Mathematical Society gewen vir sy werk oor Aleksandrov se krommingsruimtes wat van onder af begrens is. In 1992 is hy genooi om elk 'n semester by die Courant-instituut in die Universiteit van New York deur te bring, waar hy begin werk het aan spruitstukke met ondergrense op Ricci-kromming. Van daar af het hy in 1993 'n Miller-navorsingsgenootskap van twee jaar aan die Universiteit van Kalifornië, Berkeley, aanvaar. Nadat hy in 1994 die siel-vermoede (kyk onder) bewys het, is hy werk aangebied by verskeie top-universiteite in die VSA, insluitend Princeton en Stanford, maar hy het hulle almal verwerp en in die somer van 1995 na die Steklov-instituut in Sint Petersburg teruggekeer vir 'n navorsingsprojek-posisie.
Vroeë navorsing
Konvekse geometrie In sy voorgraadse studie het Perelman gewerk aan probleme in die gebied van konvekse meetkunde. Sy eerste gepubliseerde artikel het die kombinatoriese strukture bestudeer wat voortspruit uit kruisings van konvekse veelvlakke. Met IV Polikanova het hy 'n maat-teoretiese formulering van Helly se stelling daargestel. In 1987, die jaar toe hy nagraadse studies begin het, het hy 'n artikel gepubliseer wat die grootte van omskrewe silinders deur dié van ingeskrewe sfere beheer.
Negatief geboë hiperoppervlaktes Oppervlaktes van negatiewe kromming was die onderwerp van Perelman se nagraadse studies. Sy eerste resultaat was oor die moontlikheid om die struktuur van negatief-geboë veelvlakkige oppervlaktes in driedimensionele Euklidiese ruimte te ondersoek. Hy het bewys dat enige so 'n metriek op die vlak wat volledig is, voortdurend as 'n veelvlakkige oppervlak ondergedompel kan word. Later het hy 'n voorbeeld gekonstrueer van 'n gladde hiperoppervlak van vierdimensionele Euklidiese ruimte wat volledig is en negatiewe Gaussiese kromming het, en nie van nul af weg begrens is nie. Vorige voorbeelde van sulke oppervlaktes was bekend, maar Perelman was die eerste wat die saal-eienskap uitgestal het op die nie-bestaan van plaaslik streng ondersteunende hiperoppervlaktes. As sodanig het sy konstruksie verdere teenstand gebied teen enige uitbreiding van 'n bekende stelling van Nikolai Efimov na hoër dimensies.Efimov, N.V. Generation of singularites on surfaces of negative curvature. Mat. Sb. (N.S.) 64 (106) 1964 286–320.
Alexandrov spasies Perelman se eerste werke wat 'n groot impak op die wiskundige literatuur gehad het, was in die veld van Alexandrov-ruimtes, 'n konsep uit die 1950's. In 'n baie bekende artikel wat saam met Yuri Burago en Mikhael Gromov geskryf is, het Perelman die moderne grondslae van hierdie veld gevestig, met die idee van Gromov-Hausdorff-konvergensie as 'n organiserende beginsel. [BGP92] In 'n opvolg ongepubliseerde artikel, het Perelman sy "stabiliteitstelling" bewys en beweer dat in die versameling van alle Alexandrov-ruimtes met 'n vaste kromming gebind, alle elemente van enige metrieke bal wat klein genoeg is, rondom 'n kompakte ruimte, wedersyds homeomorf is. [P91] Vitali Kapovitch, wat Perelman se artikel as "baie moeilik om te lees" beskryf het, het later 'n gedetailleerde weergawe van Perelman se bewys geformuleer, met 'n paar verdere vereenvoudigings.
Perelman het 'n weergawe van Morse-teorie op Alexandrov-ruimtes ontwikkel. Ten spyte van die gebrek aan gladheid in Alexandrov-ruimtes, kon Perelman en Anton Petrunin die gradiëntvloei van sekere funksies, in ongepubliseerde werk, oorweeg. Hulle het ook die idee van 'n "ekstremale deelversameling" van Alexandrov-ruimtes bekendgestel en getoon dat die binnekante van sekere ekstremale deelversamelings 'n stratifikasie van die ruimte deur topologiese spruitstukke definieer. In verdere ongepubliseerde werk het Perelman GS-funksies (verskil van konkawe funksies) op Alexandrov-ruimtes bestudeer en vasgestel dat die stel reëlmatige punte die struktuur van 'n spruitstuk het wat op GS-funksies gemodelleer is.
Vir sy werk oor Alexandrov-ruimtes is Perelman erken met 'n genooide lesing by die 1994 International Congress of Mathematicians.
Vergelykbaarheidsmeetkunde In 1972 het Jeff Cheeger en Detlef Gromoll hul belangrike sielstelling gevestig. Dit beweer dat elke volledige Riemanniese metriek van nienegatiewe deursneekromming 'n kompakte nienegatief-geboë subverdeling het, wat 'n siel genoem word, waarvan die normale bundel diffeomorfies aan die oorspronklike ruimte is. Vanuit die perspektief van homotopieteorie sê dit veral dat elke volledige Riemanniese metriek van nienegatiewe snitkromming, as toe beskou kan word. Cheeger en Gromoll het vermoed dat as die kromming iewers streng positief is, die siel as 'n enkele punt beskou kan word, en dus dat die oorspronklike ruimte anders as die Euklidiese ruimte moet wees. In 1994 het Perelman 'n kort bewys gelewer van Cheeger en Gromoll se aanname deur vas te stel dat, onder die toestand van nienegatiewe deursneekromming, Sharafutdinov se terugtrekking 'n onderdompeling is. [P94b] Perelman se stelling is betekenisvol in die vestiging van 'n topologiese obstruksie om 'n nienegatief-geboë metriek te vervorm na een wat positief geboë is, selfs by 'n enkele punt.
Sommige van Perelman se werk het gehandel oor die konstruksie van verskeie interessante Riemann-spruitstukke met positiewe Ricci-kromming. Hy het Riemanniese metrieke gevind op die gekoppelde som van arbitrêr baie komplekse projektiewe vlakke met positiewe Ricci-kromming, begrensde deursnee en volume wat weg van nul af begrens is. Ook het hy 'n eksplisiete volledige metriek op vierdimensionele Euklidiese ruimte gevind met positiewe Ricci-kromming en Euklidiese volumegroei, en sodanig dat die asimptotiese keël nie-uniek gedefinieer is.
Meetkunde en Poincaré aannames
Die probleme Die Poincaré-aanname, wat in 1904 deur wiskundige Henri Poincaré voorgestel is, is deur die 20ste eeu as 'n sleutelprobleem in topologie beskou. Op 'n 3-sfeer, gedefinieer as die stel punte op eenheidslengte vanaf die oorsprong in vierdimensionele Euklidiese ruimte, kan enige lus in 'n punt saamgetrek word. Poincaré het voorgestel dat die teenoorgestelde waar kan wees: as 'n geslote driedimensionele spruitstuk die eienskap het dat enige lus in 'n punt saamgetrek kan word, dan moet dit topologies aan 'n 3-sfeer gelykstaande wees. Stephen Smale het in 1961 'n hoë-dimensionele analoog van Poincaré se aanname bewys, en Michael Freedman het die vierdimensionele weergawe in 1982 bewys.Smale, Stephen. Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 (1961), 391–406.Freedman, Michael Hartley. The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geometry 17 (1982), nr. 3, 357–453. Ten spyte van hul werk het die geval van driedimensionele ruimtes heeltemal onopgelos gebly. Boonop het Smale en Freedman se metodes geen impak op die driedimensionele geval gehad nie, aangesien hul topologiese manipulasies, wat "problematiese streke" uit die pad skuif sonder om met ander streke in te meng, blykbaar hoë dimensies vereis om te werk.
In 1982 het William Thurston 'n nuwe standpunt ontwikkel, wat die Poincaré-aanname tot 'n klein spesiale geval van 'n hipotetiese sistematiese struktuurteorie van topologie in drie dimensies gereduseer het. Sy voorstel, bekend as die Thurston-geometrisasie-aanname, het voorgehou dat gegewe enige geslote driedimensionele spruitstuk hoegenaamd, daar 'n versameling tweedimensionele sfere en tori binne-in die spruitstuk is wat die spasie in afsonderlike stukke ontkoppel, wat elkeen toegerus kan word met 'n eenvormige geometriese struktuur.Thurston, William P. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), nr. 3, 357–381. Thurston kon sy aanname onder sekere voorlopige aannames bewys. Volgens John Morgan se siening was dit slegs met Thurston se sistematiese standpunt dat die meeste topoloë begin glo het dat die Poincaré-aanname waar sou wees.John Morgan. "The Poincaré conjecture." Lesing by die 2006 International Congress of Mathematicians.