0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5 040 8 40 320 9 362 880 10 3 628 800 11 39 916 800 12 479 001 600 13 6 227 020 800 14 87 178 291 200 15 1 307 674 368 000 16 20 922 789 888 000 17 355 687 428 096 000 18 6 402 373 705 728 000 19 121 645 100 408 832 000 20 2 432 902 008 176 640 000
De faculteit van een natuurlijk getal , genoteerd als en uitgesproken als faculteit, is het product van de getallen tot en met . Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er . Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid. De faculteitsfunctie groeit snel, op den duur zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste waarden voor tot en met 20 staan hiernaast.
Definitie De faculteit van het natuurlijke getal is
Recursief geldt dus voor de faculteit:
Voor bijvoorbeeld is:
Het is afgesproken dat
Benaderingen thumb
Formule van Stirling Voor grote waarden van kan de faculteit van dat getal met de formule van Stirling worden benaderd:
De benadering is voor kleine waarden van onnauwkeurig, voor bijvoorbeeld is , maar
De formule wordt veel in de statistische natuurkunde toegepast, waar het aantal deeltjes is en het verschil tussen de echte waarde en de benadering met de formule van Stirling kan worden verwaarloosd. Onder staat een tabel met daarin voor een aantal waarden van , de waarde voor en de benadering volgens Stirling.
Gammafunctie De gammafunctie
is voor gehele getallen de faculteit, maar dan één verschoven:
De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen .
Tabel {| class="wikitable" style="margin-left:10px; text-align:right;" |- ! ! ! Stirling |- | 10 || 3 628 800 || 3 598 695,624 |- | 20 || 0,24329 · 1019 || 0,2422 · 1019 |- | 30 || 0,26525 · 1033 || 0,2645 · 1033 |- | 40 || 0,8159 · 1048 || 0,8142 · 1048 |- | 50 || 0,3041 · 1065 || 0,3036 · 1065 |- | 100 || 0,9333 · 10158 || 0,9325 · 10158 |- | 1000 || 4,024 · 102567 || 4,024 · 102567 |- | 10 000 || 2,846 · 1035 659 || 2,846 · 1035 659
Algoritme Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit. getal = int(input()) fac = getal while (getal > 2): getal -= 1 #getal = getal -1 fac *= getal #fac = fac * getal
print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)
Variaties Dubbelfaculteit Subfaculteit
Websites
. Faculteit-Formules.
Categorie:Combinatoriek Categorie:Getaltheorie Categorie:Wiskundige schrijfwijze