De vorm van het heelal is een informele naam voor een onderzoeksgebied binnen de natuurkundige kosmologie.
In dit onderzoeksgebied beschrijft men de meetkunde van het heelal met inbegrip van zowel de lokale meetkunde als de globale meetkunde. Losjes gesproken is het onderzoeksgebied verdeeld in kromming en topologie. Strikt genomen komt er meer bij kijken dan alleen deze deelgebieden.
Formeler gesproken onderzoekt men in de praktijk welke 3-variëteit overeenkomt met de ruimtelijke sectie in nevenbewegende coördinaten van de vierdimensionale ruimtetijd van het heelal.
Binnen de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-metriek (FLRW) is volgens kosmologen de meest populaire vorm van het heelal, die overeenkomt met de observationele gegevens, het oneindige platte model, , , , The early universe and the cosmic microwave background: theory and observations (Het vroege heelal en de kosmische microgolfachtergrond: theorie en waarnemingen), 130, in Topology of the universe and the cosmic microwave background radiation Springer, 2003, , zie hier Samenvatting van pagina 161 terwijl andere FLRW-modellen die overeenkomen met de waarnemingen, de Poincaré-dodecaëderruimte en de Picard-hoorn zijn.
Inleiding thumb|400px|Een afbeelding van het heelal door het WMAP Beschouwingen over de vorm van het heelal kunnen worden opgesplitst in twee delen. De lokale meetkunde betreft met name de meetkunde van het heelal op verschillende punten en houdt zich vooral met het waarneembaar heelal bezig, terwijl de globale meetkunde zich speciaal op de topologie van het heelal als geheel richt - die al dan niet binnen onze mogelijkheden ligt om deze te meten.
Kosmologen werken normaal gesproken met een gegeven ruimte-achtig stukje ruimtetijd, dat de nevenbewegende coördinaten wordt genoemd. In termen van waarneming is het gedeelte van de ruimtetijd dat kan worden waargenomen de achterwaarts gerichte lichtkegel (punten binnen de kosmische lichthorizon, die de tijd kregen om een bepaalde waarnemer te bereiken). Voor aanverwante zaken, zie afstandsmaat (kosmologie). De verwante term Hubble-volume kan worden gebruikt om de verleden lichtkegel te beschrijven of de nevenbewegende ruimte up to het oppervlak van de laatste verstrooiing te beschrijven. Vanuit het oogpunt van de speciale relativiteitstheorie is spreken van 'de vorm van het heelal (op een punt in de tijd)' ontologisch naïef. Dit vanwege de kwestie van de relativiteit van de gelijktijdigheid: men kan niet spreken van verschillende punten in de ruimte 'op hetzelfde punt in de tijd'. Daarom kan men ook niet spreken van de 'vorm van het heelal op een bepaald punt in de tijd'. Het bestaan van een voorkeursverzameling van nevenbewegende coördinaten is wel mogelijk en wordt in de hedendaagse natuurkundige kosmologie breed geaccepteerd.
Als het waarneembare heelal kleiner is dan het gehele universum (in sommige modellen is het waarneembare heelal vele orden van grootte of infinitesimaal kleiner dan het gehele universum), is het niet mogelijk om de globale structuur door waarneming te bepalen: de waarnemer wordt in zijn mogelijkheden ingeperkt, omdat hij maar een klein stukje ziet. Als omgekeerd het waarneembare heelal het gehele universum omvat, kan men de globale structuur wel door middel van observatie bepalen. Verder kan het universum in sommige dimensies klein zijn, maar in andere niet (zoals in een cilinder): als een kleine gesloten lus bestaat, zou men meervoudige afbeeldingen van objecten aan de nachthemel zien.
Lokale meetkunde (ruimtelijke kromming) De lokale meetkunde is de kromming die elk willekeurig punt in het waarneembare heelal beschrijft (over een voldoende grote schaal gemiddeld). Astronomische waarnemingen, zoals die van supernovae en de kosmische achtergrondstraling, laten zien dat het waarneembare heelal nagenoeg homogeen en isotroop is. Uit de waarnemingen leidt men af dat de uitdijing van het heelal versnelt.
FLRW-model van het heelal In de algemene relativiteitstheorie wordt dit gemodelleerd door de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-metriek (FLRW). Dit model, dat kan worden weergegeven door de Friedmann-vergelijkingen, voorziet in een kromming (vaak aangeduid als meetkunde) van het heelal op basis van de wiskunde van de stromingsleer. Dat wil zeggen dat de materie binnen het universum als een perfecte vloeistof wordt gemodelleerd. Hoewel sterren en massastructuren in een 'bijna FLRW'-model kunnen worden geïntroduceerd, gebruikt men een strikt FLRW-model om de lokale meetkunde van het waarneembare heelal te benaderen.
Een andere manier om dit te zeggen is dat, wanneer alle vormen van donkere energie worden genegeerd, de kromming van het heelal kan worden bepaald door de gemiddelde dichtheid van de materie binnen het heelal te meten. Dit in de veronderstelling dat alle materie gelijkmatig verdeeld is (in plaats van in verstoringen die door 'dichte' objecten, zoals sterrenstelsels, worden veroorzaakt, voor te komen).
Deze veronderstelling wordt gerechtvaardigd door de waarnemingen dat het heelal algemeen gezien homogeen en isotroop is, terwijl het universum eigenlijk 'zwak' inhomogeen en anisotroop is (zie de grootschalige structuur van de kosmos).
Het homogene en isotrope heelal zorgt voor een ruimtelijke meetkunde met een constante kromming. Een aspect van de lokale meetkunde dat naar voren kwam uit de algemene relativiteitstheorie en het FLRW-model is dat de dichtheidsparameter, Omega (Ω), gerelateerd is aan de kromming van de ruimte. Omega is de gemiddelde dichtheid van het heelal gedeeld door de kritische energiedichtheid, dat wil zeggen die nodig is om te verzekeren dat het heelal vlak is (nulkromming).
De kromming van de ruimte is een wiskundige beschrijving van de vraag of de stelling van Pythagoras al of niet is geldig voor ruimtelijke coördinaten. In het laatste geval biedt het een alternatieve formule voor het uitdrukken van lokale relaties tussen afstanden: Als de kromming nul is, dan is Ω = 1 en is de stelling van Pythagoras juist; Als Ω > 1 is dan bestaat er een positieve kromming en Als Ω < 1 is dan bestaat er een negatieve kromming. In elk van deze laatste twee gevallen gaat de stelling van Pythagoras niet op. Discrepanties zijn alleen detecteerbaar in driehoeken, waarvan de zijden een lengte op kosmologische schaal hebben (in meters een 1 met 26 nullen).
Als men de omtrekken van cirkels met steeds grotere diameters meet en de omtrek door de diameter deelt, geven alle drie meetkunden voor cirkels met kleine diameters een waarde π, maar, tenzij Ω = 1, gaat de verhouding voor grotere diameters afwijken: Voor Ω > 1 (de sfeer, zie diagram) is de verhouding kleiner dan π: inderdaad heeft een grootcirkel op een sfeer een omtrek die slechts tweemaal haar diameter is. Voor Ω < 1 stijgt de verhouding boven π uit.
Astronomische metingen van zowel de materie-energiedichtheid van het heelal als ruimtetijdintervallen door gebruik te maken van supernova's laten zien dat de ruimtelijke kromming van het heelal dicht bij nul moet liggen. De kromming kan zowel positief als negatief zijn. Hoewel de lokale meetkunde van de ruimtetijd wordt gegenereerd door de relativiteitstheorie gebaseerd op ruimtetijd-intervallen, betekent dit dat wij de driedimensionale ruimte door de Euclidische meetkunde kunnen benaderen.
Mogelijke lokale geometrieën thumb|275px|De lokale meetkunde van het heelal wordt bepaald door de vraag of Omega is minder dan, gelijk aan of groter dan 1. Van boven naar beneden: een bolvormig universum, een hyperbolische universum, en een vlak heelal Er bestaan drie categorieën voor de mogelijke ruimtelijke meetkunde van constante kromming, afhankelijk van het teken van de kromming. Als de kromming precies nul is, dan is de lokale meetkunde vlak; als het positief is, dan is de lokale meetkunde bolvormig; als het negatief is, dan is de lokale meetkunde hyperbolisch.
De meetkunde van het heelal wordt meestal vertegenwoordigd in het systeem van nevenbewegende coördinaten, op grond waarvan de uitdijing van het heelal kan worden genegeerd. Nevenbewegende coördinaten vormen een enkel referentiekader, volgens welke het heelal een statische meetkunde van drie ruimtelijke dimensies heeft.
Onder de aanname dat het heelal homogeen en isotroop is, wordt de kromming van het waarneembare heelal, of van de lokale meetkunde, beschreven door een van de drie 'primitieve' meetkunden (in de wiskunde worden deze modelmeetkunden genoemd): driedimensionale vlakke Euclidische meetkunde, in het algemeen genoteerd als E3 driedimensionale bolmeetkunde met een kleine kromming, vaak genoteerd als S3 driedimensionale hyperbolische meetkunde met een kleine kromming Zelfs als het universum niet precies ruimtelijk vlak is, is de ruimtelijke kromming dicht genoeg bij nul om de straal aan ongeveer de horizon van het waarneembare universum of daarbuiten te plaatsen.
Globale meetkunde Globale meetkunde heeft betrekking op de meetkunde, in het bijzonder de topologie, van het gehele heelal - zowel het waarneembare als het niet waarneembare gedeelte. Hoewel de lokale meetkunde de globale meetkunde niet volledig bepaalt, limiteert het wel de mogelijkheden, in het bijzonder wat betreft een meetkunde met een constante kromming. Voor deze discussie wordt ervan uitgegaan dat het heelal een geodetische variëteit is, die vrij is van topologische defecten. Het versoepelen van een van deze aannames compliceert de analyse aanzienlijk.
In het algemeen relateren stellingen in de Riemann-meetkunde de lokale aan de globale meetkunde. Wanneer de lokale meetkunde een constante kromming heeft, is de globale meetkunde, zoals beschreven in de Thurston-meetkunden, aan zware beperkingen onderhevig.
Een globale meetkunde wordt ook wel een topologie genoemd, aangezien een globale meetkunde een lokale meetkunde plus een topologie is. Maar deze terminologie is misleidend, omdat een topologie geen globale meetkunde geeft: een Euclidische 3-ruimte en een hyperbolische 3-ruimte hebben bijvoorbeeld dezelfde topologie, maar verschillende globale meetkunden.
Twee sterk overlappende onderzoeken binnen de studie van de globale meetkunde betreffen de vraag of het heelal: Oneindig in uitbreiding of, meer in het algemeen, compact is; Een enkelvoudig- of niet-enkelvoudig samenhangende topologie heeft.
Detectie Voor een vlakke ruimtelijke meetkunde is de schaal van enige eigenschappen van de topologie willekeurig en kunnen deze al of niet direct detecteerbaar zijn. Voor sferische en hyperbolische ruimtelijke meetkunden geeft de kromming een schaal (hetzij door gebruik te maken van de straal van de kromming of door haar inverse), een feit dat in 1824 door Carl Friedrich Gauss werd opgemerkt in een brief aan Franz Taurinus. , Werke 8, blz. 175-239, aangehaald en in het Engels vertaald door John Milnor (1982) Hyperbolische meetkunde:de eerste 150 jaar, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1), p. 10.
Milnors vertaling van Gauss luidt als volgt: "De veronderstelling dat de som van de drie hoeken [van een driehoek] kleiner is dan 180° leidt tot een meetkunde die heel anders is dan onze (Euclidische) meetkunde, maar die op zich volledig consistent is. Ik heb deze meetkunde naar tevredenheid voor mijzelf geconstrueerd. Ik kan elk probleem oplossen, behalve het vaststellen van een constante, die niet a priori kan worden vastgesteld. Hoe groter men deze constante kiest, des te dichter men de Euclidische meetkunde benadert. Als de niet-Euclidische meetkunde de ware meetkunde was en als deze constante vergelijkbaar was met afstanden die we op aarde of in de hemelen kunnen meten, dan kan deze constante ook a posteriori worden bepaald. Vandaar dat ik soms voor de grap de wens heb geuit dat de Euclidische meetkunde niet waar is. Want dan zouden we een absolute a priori meeteenheid hebben."