Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Oorspronkelijk was het begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden.

Een getal verschilt van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.

Getallen als begrip zijn taalonafhankelijk. Ook de symbolische voorstelling van getallen in de decimale schrijfwijze is op enige kleinigheden na in de meeste talen hetzelfde. In gesproken taal en geschreven als woord heeft men wel een taalafhankelijke voorstelling van getallen door middel van telwoorden. Voorbeelden van talen waarin de telwoorden een regelmatige naam hebben zijn het Standaardmandarijn en Esperanto.

Datatypen voor getallen zijn onder meer diverse varianten van integer en zwevendekommagetal.

Geschiedenis thumb|Getalsysteem van de Maya's

Getallen zijn een prehistorische uitvinding: alle volkeren die het schrift hebben uitgevonden, beschikten vanaf de oudste teksten over een manier om getallen op te schrijven. Uit de prehistorie bestaan materiële bronnen onder meer in de vorm van kerfstokken. Het zetten van streepjes is de oudst bekende manier om een getal aan te duiden. Het is nog steeds in gebruik, met name in de vorm van turven.

In Moravië is een 30 000 jaar oud bot van een jonge wolf gevonden met 55 diepe kerven in twee reeksen: een van 25 en een van 30. Binnen elke reeks staan de kerven in groepen van 5. In Afrika is een 35 000 jaar oud kuitbeen van een baviaan gevonden met 29 kerfjes. Het Ishango-beentje, eveneens uit Afrika, lijkt vermenigvuldigingen te bevatten. Het werd oorspronkelijk op 8000 jaar geschat maar die schatting is later herzien tot eveneens 30 000 jaar. en , "A History of Mathematics," 3de uitgave, Wiley 2011.

De oudste bewaarde documenten met getallen zijn Mesopotamische kleitabletten. De volkeren van Mesopotamië beschikten over een positioneel systeem, dat wil zeggen dat de waarde van een symbool afhangt van de plaats waar het wordt geschreven - zoals bij ons het cijfer 1 in het getal 100 een grotere waarde heeft dan datzelfde cijfer in het getal 210. Het Mesopotamische positionele systeem was evenwel niet tiendelig zoals het onze, maar zestigdelig. Zij kenden ook breuken, maar hadden geen symbool voor het cijfer 0. Ongeveer in dezelfde periode hadden de oude Egyptenaren een getalstelsel, dat evenwel in verscheidene opzichten minder krachtig was (geen positioneel systeem, en alleen stambreuken).Tabak, John, "Numbers: Computers, Philosophers & the Search for Meaning," Facts on File 2004.

De Mayacultuur uit Midden-Amerika beschikte over een twintigdelig positioneel systeem met inbegrip van een symbool voor 0. Voor zover uit de schaarse bronnen kan worden nagegaan, kenden zij geen breuken. Chinese wiskundigen beschikten al voor de tijd van het Keizerrijk over een tiendelig systeem zoals het onze, waarin na verloop van tijd ook de 0 opduikt (met het hedendaagse symbool). In het belangrijkste werk van de Chinese wiskunde, de Negen hoofdstukken over de rekenkunde, komen breuken voor.

De wiskunde in het oude China kende twee afzonderlijke notaties die naast elkaar gebruikt werden, allebei tiendelig. Eén stelsel hanteerde een multiplicatief systeem met symbolen voor de cijfers 1 tot 9 en andere symbolen voor de machten van 10. Een groot getal werd geschreven als de samenstelling van groepen die telkens uit een cijfer en een macht van 10 bestonden. Het andere stelsel was positioneel en gebruikte twee verschillende reeksen symbolen voor de cijfers 1-9, die dan elkaar afwisselden in een rij om de verschillende posities uit elkaar te houden. Hoewel dit stelsel al in 300 v.Chr. in zwang was, duikt het symbool 0 pas op in een document uit 1247.

In de Oud-Griekse, Romeinse en middeleeuwse Europese cultuur werden getallen niet-positioneel genoteerd (zie Romeinse cijfers).

Oud-Griekse wiskundigen zoals Euclides kenden breuken als verhoudingen, maar beschouwden ze niet als op zichzelf staande objecten zoals natuurlijke getallen. Een getal is bij Euclides "een veelheid samengesteld uit eenheden", wat impliceert dat zelfs 1 geen echt getal is.Thiele, Rüdiger, hoofdstuk 1 "Antiquity" in Jahnke, Hans Niels (red.), "A History of Analysis," History of Mathematics 24, American Mathematical Society en London Mathematical Society 2003.

De Romeinen gebruikten geen talstelsel, maar hadden een geheel eigen manier om getallen te schrijven, waarin de positie van de tekens (bijna) niet belangrijk was. Zij gebruikten letters als cijfers: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. De letters worden in combinaties gebruikt, dus 234 = CCXXXIV. Om de getallen in te korten wordt in plaats van 4 maal I een I voor het volgende symbool gezet. Dus IV in plaats van IIII, XL in plaats van XXXX en CM in plaats van DCCCC. Romeinse cijfers worden nog steeds gebruikt op gebouwen om het bouwjaar aan te duiden en om uitgebreide tabellen te ondersteunen.

Doordat de volgorde bijna onbelangrijk is, was het voor de Romeinen mogelijk om een zin of vers te schrijven, en door alle letters die ook getallen representeren een jaartal te vormen. Zo'n vers wordt carnacioen genoemd.

De Romeinse cijfers zijn erg omslachtig om mee te rekenen. Sommen zoals die nu bij ons op school worden geleerd, waren met Romeinse cijfers bijna onmogelijk. Bovendien misten de Romeinen het concept en symbool voor 0 (nul).

Onze huidige 10 cijfers zijn afkomstig uit India; in 662 rapporteert een westerse reiziger dat de Indiërs hun getallen noteren "met 9 symbolen", wat erop wijst dat ze een positioneel stelsel hadden waar de 0 niet in voorkwam. De nul duikt er op vóór het jaar 900. Ze kenden breuken maar geen decimale schrijfwijze van het breukdeel van een getal. De Arabische cultuur nam de Indische cijfers al snel over, en het systeem wordt uitgebreid beschreven door Al-Chwarizmi. In het Westen worden deze cijfers pas in de 13de eeuw beschreven, en het waren aanvankelijk Fibonacci (wiens familie handel dreef in Noord-Afrika) en later François Viète, Simon Stevin en John Napier die hun gebruik populariseerden. Tot het eind van de 16de eeuw werden breukdelen meestal naar Mesopotamisch voorbeeld zestigdelig geschreven, wat onder meer verklaart waarom een uur nog steeds bestaat uit 60 minuten of 3600 seconden. Het gebruik van verschillende symbolen voor verschillende cijfers en het introduceren van de 0 maakte een positionele notatie mogelijk en vereenvoudigde het rekenen. De Europese en Arabische cijfers verschillen aanzienlijk van vorm, maar het principe van een tiendelig positioneel stelsel is identiek.

Het bestaan van irrationale getallen was al in de oudheid bekend, maar het gebruik van het woord reëel voor een getal is afkomstig van René Descartes, die het onderscheid wou maken met de "imaginaire" nulpunten van een veelterm. Dat er zoiets als imaginaire getallen (complexe getallen die niet reëel zijn) moest bestaan, was al in de 16de eeuw gebleken uit de oplossingsmethode voor de derdegraadsvergelijking die Scipione del Ferro en Niccolò Tartaglia hadden gevonden.

Johann Heinrich Lambert en Adrien-Marie Legendre bewezen op het einde van de 18de eeuw dat irrationaal is, maar het feit dat ook transcendent is, werd pas in 1882 aangetoond door Ferdinand von Lindemann.

Rekenen

Het getalbegrip als aantal, dus niet zomaar als een nummer, ontleent zijn kracht aan de mogelijkheid van rekenkundige bewerkingen. Zelfs een eenvoudige opdracht zoals het tellen van het aantal elementen van een verzameling, wordt veel eenvoudiger dankzij de optelling: als een grote verzameling bestaat uit twee gescheiden deelverzamelingen, dan is het totale aantal elementen de som van de aantallen in de twee deelverzamelingen.

De bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn zo nauw verbonden met het getalbegrip dat de bijhorende wiskunde structuren dikwijls lichamen zijn: verzamelingen waarbinnen van ieder paar elementen een som, verschil en product kan worden berekend, en van bijna ieder paar een quotiënt. De complexe getallen zijn ontstaan uit de behoefte om ook op ieder willekeurig element worteltrekking te kunnen toepassen. Voorbeelden van lichamen (velden) zijn: de rationale getallen; de reële getallen; de algebraïsche getallen; en de complexe getallen.

Op de reële en complexe getallen zijn bovendien allerlei gespecialiseerde functies gedefinieerd: goniometrische functies en hun omgekeerden, de cyclometrische functies; exponentiële functies en hun omgekeerden, de logaritmen; speciale functies.

Getalverzamelingen Traditionele getalverzamelingen

thumb|Deelverzamelingen van de complexe getallen

In de wiskunde worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De verzamelingenleer zelf is deels ontstaan vanuit vraagstellingen over de aard van de reële getallen en hun verband met de rationale getallen.

Het klassieke getalbegrip is dat van het aantal elementen van een eindige verzameling, waaraan in een iets recenter verleden ook 0 werd toegevoegd: de natuurlijke getallen, , voorgesteld door de verzameling .

Grotere getalverzamelingen ontstaan wanneer men een vorm wil geven aan "denkbeeldige" oplossingen van een vergelijking die in de tot dan toe beschouwde getallen onoplosbaar is.Burgin, Mark, "Hypernumbers and Extrafunctions: Extending the Classical Calculus," Springer Briefs in Mathematics 2012. We halen een paragraaf aan uit hoofdstuk 1 "Introduction - How Mathematicians Solve Unsolvable Problems": Thus, we can see a recurring scheme across these situations. Namely, encountering problems that they were not able to solve and for which it had been proved that these problems were unsolvable, creative mathematicians introduced new structures, extending the existing ones and making it possible to solve previously “unsolvable” problems. For instance, it was proved that it was impossible to solve the equation with rational numbers and thus, with numbers that mathematicians knew at that time. However, creation of real numbers made possible to solve this and many other similar equations. Zo heeft de vergelijking geen oplossing in de natuurlijke getallen, maar wel als we negatieve getallen toelaten;Diophantus vermeldt "de onmogelijke oplossing van de absurde vergelijking " zie bijvoorbeeld Turnbull, Herbert Western, "The Great Mathematicians," hoofdstuk II.1 in Newman, James R. (red.), "The World of Mathematics," deel 1, Simon and Schuster 1956. de natuurlijke getallen worden dan een deelverzameling van de gehele getallen die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat.

Deze verzameling kan verder uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn, om "onoplosbare" vergelijkingen zoals te behandelen: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als .

Er bestaan ook in de rationale getallen eenvoudige algebraïsche vergelijkingen die onoplosbaar zijn. De oude Grieken wisten al dat de vierkantswortel van 2 niet als een breuk kan worden geschreven, met andere woorden dat niet oplosbaar is in .De oude Grieken schreven geen uitdrukkelijke vergelijkingen op; de Pythagoreërs beschreven de onoplosbaarheid van als de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van een vierkant: zie onder meer Tabak, John, "Algebra - Sets, Symbols, and the Language of Thought," Facts on File 2004. In een modern kader haalt men hieruit de definitie van de algebraïsche getallen: de kleinste lichaamsuitbreiding van waarin elke veelterm in één veranderlijke met rationale coëfficiënten ontbindbaar is in factoren van de eerste graad.