In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een enkelvoudige groep een groep waarvan de enige normaaldelers de groep zelf en de triviale groep zijn. De enkelvoudige groepen vormen de bouwstenen waaruit alle groepen zijn opgebouwd. Van een groep die niet enkelvoudig is, kan de interne structuur worden geanalyseerd aan de hand van twee eenvoudigere groepen. Er moet een ondergroep van zijn, die minder groot is dan , maar meer is dan alleen de triviale groep, die een normaaldeler is van , . Bij deze ondergoep in is dan nog de factorgroep gedefinieerd.
Wiskundigen zijn erin geslaagd te bewijzen dat alle eindige enkelvoudige groepen tot enkele duidelijk omschreven soorten behoren. De classificatie van eindige enkelvoudige groepen geldt als een van de langste bewijzen uit de hele wiskunde. Geen enkele afzonderlijke publicatie bevat het volledige bewijs. Sommige afzonderlijke hulpstellingen zijn gepubliceerd met een bewijs van meer dan 1000 bladzijden. Dit heeft aanleiding gegeven tot scepticisme over de waarheidswaarde van de classificatie, zelfs door een wiskundige als Jean-Pierre Serre. Onder andere ook de wiskundige Daniel Gorenstein heeft aan het bewijs gewerkt.
Enkelvoudig is een algemeen begrip binnen de abstracte algebra, dat er op duidt dat een wiskundige structuur niet in delen kan worden ontbonden.
Voorbeelden en tegenvoorbeelden In een abelse groep is elke ondergroep een normaaldeler. Volgens de stellingen van Sylow zijn de cyclische groepen, waarvan de orde een priemgetal is, de enige groepen die geen enkele ondergroep hebben behalve zichzelf en de triviale groep. Dat betekent dat de enige abelse groepen die enkelvoudig zijn, de cyclische groepen zijn, waarvan de orde een priemgetal is.
De kleinste niet-abelse enkelvoudige groep is de alternerende groep , gevormd door de even permutaties op vijf elementen. De orde van is 60 en is op isomorfisme na de enige enkelvoudige groep van die orde.
De op een na kleinste niet-abelse, enkelvoudige groep is de projectieve speciale lineaire groep . Het is de enige enkelvoudige groep met 168 elementen. Het is de factorgroep van de vierkante -matrices met elementen in het eindige lichaam en determinant 1, over de normaaldeler gevormd door de identieke matrix en zijn tegengestelde.
Enkelvoudige lie-groepen In de context van lie-groepen wordt meestal een zwakkere definitie van het begrp 'enkelvoudig' gehanteerd. Men eist alleen dat er geen niet-triviale samenhangende normaaldelers bestaan.
Bronvermelding
Categorie:Groepentheorie