thumb|upright=1.2|class=skin-invert-image|De eerste decimalen van het getal Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π uitgedrukt in verschillende getalstelsels Binair 11,0010 0100 0011 1111… Decimaal 3,14159 26535 89793 23846… Hexadecimaal 3,243F 6A88 85A3 08D3… Als kettingbreuk
Het getal , soms geschreven als pi, is een wiskundige constante, met in decimale notatie de getalswaarde Het getal is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Het getal komt voor in veel verschillende formules binnen de wiskunde en natuurkunde. Het is een irrationaal getal, wat inhoudt dat het niet exact als een breuk kan worden geschreven. Het betekent ook dat het een oneindig aantal decimalen heeft, zonder repetitieve gedeelten.
Al duizenden jaren proberen geleerden en wiskundigen de eigenschappen van het getal te doorgronden. In vroege beschavingen, zoals het Oude Egypte en Babylonië, werd al gebruikt voor praktische berekeningen. De Griekse wiskundige Archimedes gaf rond 250 v. Chr. met behulp van een simpel algoritme een opmerkelijk nauwkeurige benadering van .
Na de ontwikkeling van de differentiaalrekening werd het mogelijk om met zeer grote precisie te benaderen, genoeg voor praktische wetenschappelijke toepassingen. Desondanks zochten wiskundigen en informatici in de 20ste en 21ste eeuw naar alternatieve manieren om nog preciezer te benaderen. Dankzij de toegenomen rekenkracht van computers konden uiteindelijk vele miljarden decimalen worden uitgerekend.
Omdat de definitie van samenhangt met een cirkel, speelt het getal een centrale rol in de meetkunde en goniometrie. Het getal duikt daarnaast op in formules uit andere wetenschappen, zoals kosmologie, thermodynamica, elektromagnetisme en statistiek. Door zijn alomtegenwoordigheid is een van de bekendste wiskundige constanten, en is het doorgedrongen in internet- en populaire cultuur.
Symbool Het symbool is de kleine letter pi uit het Griekse alfabet (overeenkomend met de Latijnse p). Dit symbool werd door Engelse wiskundigen William Oughtred in 1647, en Isaac Barrow in 1664, al gebruikt als afkorting van het Griekse woord , peri-phereia, = omtrek van een ronde vorm.Douglas Weaver, Anthony D. Smith: The History of Mathematical Symbols www.unisanet.unisa.edu.au Gearchiveerd op 2006-04-07. De verhouding tussen diameter en omtrek gaven zij aan als /, waarbij verwees naar de diameter.
In het boek A New Introduction to Mathematics van William Jones van 1706 werd de Griekse letter het eerst gebruikt als aanduiding voor de verhouding tussen omtrek en diameter, de wiskundige constante . De notatie werd echter pas echt algemeen toen Leonhard Euler die in 1737 overnam. Tegenwoordig wordt gebruikt in vrijwel elk wiskunde- en natuurkundeboek.
De kleine letter dient niet verward te worden met de hoofdletter . Deze laatste wordt in de wiskunde in een geheel andere betekenis gebruikt, namelijk voor een product van een rij getallen.
Definitie thumb|De omtrek van een wiel is gelijk aan 3,141 592 6... maal zijn diameter. Deze verhouding wordt (pi) genoemd.
Het getal is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel. De diameter van een cirkel is gemakkelijk te meten met een liniaal, in tegenstelling tot de omtrek, omdat die niet recht is.
De animatie toont hoe experimenteel kan worden bepaald. De diameter van de cirkel is 1 genomen. Als de cirkel wordt afgerold, blijkt de omtrek van de cirkel ruim driemaal de diameter te zijn. Bij iedere cirkel is de verhouding tussen omtrek en diameter hetzelfde, en die grootheid noemen we dus .
Eigenschappen Irrationaliteit De wiskundige constante is een irrationaal getal.MathWorld. Pi. Dit houdt in dat niet als een verhouding van twee hele getallen, dus als een eindige breuk, is te schrijven. Dat betekent dat in de decimale voorstelling van geen zich herhalende periode voorkomt, zoals bij een rationaal getal als de breuk 22/7 wel het geval is: 3,142 857 142 857... De waarde van kan in decimale notatie wel benaderd worden, maar de reeks cijfers achter de komma bevat geen herhalend patroon. (2006), pp. 3-5.
Er bestaan verschillende bewijzen die aantonen dat irrationaal is. Het vroegste bewijs werd gegeven door Johann Heinrich Lambert in 1761, en berust op een goniometrische kettingbreuk. Andere bewijzen, die voornamelijk in de 19de en 20ste eeuw werden ontwikkeld, maken gebruik van differentiaal- en integraalrekening. De mate waarin kan worden benaderd door rationale getallen is onbekend; schattingen wijzen uit dat deze mate groter is dan die van of maar kleiner dan Liouville-getallen.
Transcendentie thumb|Cirkel en vierkant met allebei dezelfde oppervlakte
Een deel van de irrationale getallen is transcendent en ook blijkt dat te zijn. Dit betekent dat dit getal niet is te schrijven als oplossing van een algebraïsche vergelijking met een eindig aantal termen. Daaruit volgt tevens dat er geen constructie met passer en liniaal bestaat om een rechte lijn te construeren die lengte heeft. Heel anders dan een getal als √2, dat wel irrationaal maar niet transcendent is, en daarom wel geconstrueerd kan worden: de schuine zijde van een eenvoudig te construeren gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechte zijde 1 heeft de lengte √2. Met is iets dergelijks onmogelijk. en (2004), p. 25
Een deel van de transcendente getallen is bovendien een normaal getal. Dat betekent dat in de decimale ontwikkeling van het getal de cijfers van 0 tot en met 9 even vaak voorkomen, maar ook elke willekeurige cijfercombinatie even vaak voorkomt als elke andere willekeurige cijfercombinatie van gelijke lengte. Er is een ontzaglijk aantal decimalen van berekend en iedere daarop losgelaten statistische toets geeft als resultaat dat dit inderdaad het geval lijkt te zijn, maar het is nog niet bewezen dat inderdaad een normaal getal is. en (2006), pp. 22-23.
Het veel lastiger bewijs dat transcendent, ofwel niet-algebraïsch is, volgde ruim een eeuw later in 1882. Ferdinand von Lindemann gaf dit bewijs. Hij bewees daartoe dat er geen polynoom met gehele coëfficiënten bestaat met als nulpunt. Daardoor is het onmogelijk om in een eindig aantal stappen door constructie met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van een gegeven cirkel. Met passer en liniaal kunnen alleen algebraïsche getallen worden geconstrueerd, maar niet alle. is een algebraïsch getal, maar kan niet met passer en liniaal worden geconstrueerd.
Formules waarin voorkomt Algemeen Benadering voor -faculteit met de formule van Stirling (1730): of Identiteit van Euler (1740):
De integraal in de normale verdelingmet de jacobi-matrix Met inverse trigonometrische functies: als Leibniz- en Machin-reeks en want
Meetkunde In de meetkunde hebben formules waarin voorkomt meestal met een cirkel, ellips of bol te maken. Deze figuren komen in de cilinder en de kegel terug. De volgende formules kunnen worden gebruikt om met behulp van de straal, of de halve assen voor een ellips, van een meetkundig object de andere grootheden uit te rekenen.
thumb|Cirkel met straal r thumb|Ellips met halve assen en
Cirkel met straal r hoek 360° = 2 rad omtrek oppervlakte Ellips met halve assen a en b oppervlakte Bol met straal r inhoud oppervlakte Cilinder met straal r en hoogte h inhoud oppervlakte Kegel met grondvlakstraal r en hoogte h inhoud oppervlakte
Getaltheorie De kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn, is 6/2 (60,8 %). Dit volgt uit de getaltheorie.
Het gemiddelde aantal manieren om een positief geheel getal te schrijven als de som van twee kwadraatgetallen, waarbij de volgorde van belang is, is /4 (78,5 %).
Schattingen en benaderingen Met breuken Voor de praktijk van de berekening van omtrekken en oppervlakten van cirkels heeft men al vroeg in de oudheid schattingen gemaakt. Van de vermeldingen op een kleitablet uit Babylonië uit de 19de eeuw voor Christus valt de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel af te leiden die overeenkomt met een waarde voor van 25/8 = 3,125. Uit een rekenopgave in het oudst bekende rekenboek ter wereld, de Rhind-papyrus van de Egyptenaar Ahmose, valt uit de gevonden oppervlakte en diameter van een cirkel een waarde voor af te leiden van (16/9)2 = 3,1604... Dit rekenboek is ongeveer even oud als genoemd kleitablet. Bij beide schattingen komen de eerste twee cijfers overeen met die van , waarbij de Babylonische ongeveer evenveel te laag uitvalt als de Egyptische schatting te hoog is. Uit beschrijvingen in de Bijbel, 2 Kronieken 4:22 Kronieken 4:2 (NBV) en 1 Koningen 7:23,1 Koningen 7:13-51 (NBV) waarin vermeld staat dat Salomo rond 950 v.Chr. voor de bouw van de tempel een groot bronzen bekken liet maken: een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el valt de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel af te leiden die overeenkomt met een waarde voor van 30/10 = 3, aanzienlijk grover dan wat hun buren duizend jaar eerder als schatting gebruikten.Een kanttekening hierbij is wel dat men niet weet, of er wel of niet met de dikte van het watervat rekening is gehouden www.bijbelaantekeningen.nl 2007/06/19 Een veel gebruikte benadering is de breuk 22/7 = 3,142 857 142 857... Daarvan zijn drie cijfers goed, maar je moet er ook drie cijfers voor onthouden. In de tijd van het rekenen op papyrus/perkament was deze eenvoudige breuk echter heel handig – en veelal ook voldoende nauwkeurig. Ook voor hoofdrekenen kan deze eenvoudige breuk goed als schatting gebruikt worden. Deze breuk werd al door Archimedes gebruikt, zie onder. De astronoom Ptolemæus kwam in 150 n.Chr. op een getal van iets lager 3,141 666. Een veel nauwkeuriger breuk is 355/113 = 3,141 592 92... (3,141593). Deze breuk heet wel het getal van Metius, omdat Adriaan Metius senior deze schatting vond, maar dezelfde breuk was elf eeuwen eerder al door de Chinese wiskundige Zu Chongzhi gevonden. is een ingenieus ezelsbruggetje van Srinivasa Aaiyangar Ramanujan, omschreven als:Neem het getal "1234". Draai tweemaal twee cijfers om, zodat het getal "2143" ontstaat.Deel dat getal door tweeëntwintig (2143/22 = 97,409 0909).Neem van het resultaat tweemaal de tweedemachtswortel.De uitkomst is het getal: 3,141 592 652 58...Deze benadering valt te herschrijven tot ; de formule bevat dan slechts 5 cijfers voor een benadering met 9 juiste cijfers. Tot de -folklore behoort 3 + 4/28 – 1/(790 + 5/6) = 3,141 592 6539 ..., gebruikmakend van de tien cijfers 0 tot en met 9.N.a.v. een prijsvraag in Natuur & Techniek, nº 9, september 2000, met een eervolle vermelding van D.A. Borgdorff voor de betreffende oplossing in nº 11, november 2000.
Met limieten is de helft van de omtrek van de eenheidscirkel en daarom groter dan de helft van de omtrek van een regelmatige -hoek waarvan de omgeschreven cirkel de eenheidscirkel is: .
is kleiner dan de helft van de omtrek van een regelmatige -hoek waarvan de ingeschreven cirkel de eenheidscirkel is: .
Hoe groter , des te nauwkeuriger is de insluiting
Bij vroege toepassingen hiervan werden voor de onder- en bovengrens uiteraard niet deze uitdrukkingen, maar vaak in essentie de bovengenoemde omschrijvingen gebruikt. Archimedes rekende al 6,12,24,48,96-hoeken door.
In de limiet is zowel het verschil tussen de ondergrens en als het verschil tussen de bovengrens en evenredig met , en als steeds wordt verdubbeld wordt de wijdte van de insluiting inderdaad al gauw steeds ongeveer viermaal zo klein. Verder is de ondergrens al gauw steeds ongeveer tweemaal zo nauwkeurig als de bovengrens.