thumb
Van vier verschillende punten en die op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als
Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk .
De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van of bij het puntenpaar genoemd, ook de punten scheiden de punten harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan .Bij de berekening van de dubbelverhouding worden gerichte lijnstukken gebruikt. De lengte van een lijnstuk wordt dan berekend uit de abscissen van de eindpunten in een op de lijn vastgelegd coördinatenstelsel. Zo is dan .
Constructies Gegeven zijn de punten en die op één lijn liggen. ligt in dit geval tussen en . Er worden hieronder twee constructies van het punt op de lijn gegeven, zodat de puntenparen en elkaar harmonisch scheiden. Bij beide constructies wordt ook een correctheidsbewijs gegeven.
Relatie met het harmonisch gemiddelde is het harmonische gemiddelde van en .
Midden van het eerste lijnstuk thumb
Als en harmonisch liggen en het midden is van , dan geldt en
Harmonische ligging van lijnen Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. Een vierstraal is een geordend viertal lijnen, die in hetzelfde vlak liggen en door één punt gaan. De vierstraal is harmonisch als de dubbelverhouding ervan gelijk is aan −1.
Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig. De vierstraal is harmonisch. De lijnen en liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen en . Lijn is harmonisch toegevoegd aan lijn ten opzichte van de lijnen en .
Voorbeelden De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen. Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt De poollijn van een punt , ten opzichte van de rechten en met snijpunt , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn ten opzichte van de lijnen en .
Categorie:Meetkunde