thumb|De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep.

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling en een binaire operatie, de groepsbewerking, die aan twee elementen van weer een element van toevoegt. De verzameling en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief, er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met optellen als operatie.

De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde.Herstein, 1975, § 2, blz. 26Hall, 1967, §1.1, blz. 1" "Het idee van een groep is er een dat de gehele zuivere en toegepaste wiskunde doordringt."

Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep beschrijft symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object, dus bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten met daarbij als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om symmetrieën in de moleculaire scheikunde en symmetrie in de natuurkunde, zoals de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, te begrijpen.

De studie van vergelijkingen heeft aan de basis van de groepentheorie gestaan. Évariste Galois was in de jaren 1830 een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, factorgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt, haar groepsrepresentatie, zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.

Geschiedenis De geschiedenis van de groepentheorie is globaal in de 19e eeuw begonnen. Het moderne concept van een abstracte groep ontwikkelde zich uit verschillende deelgebieden van de wiskunde.Wussing, 2007Kleiner, 1986Smith, 1906 De oorspronkelijke motivatie voor de groepentheorie was de zoektocht naar oplossingen van vergelijkingen, waarin een polynoom gelijk aan nul wordt gesteld. De 19e-eeuwse Franse wiskundige Évariste Galois, die voortbouwde op eerder werk van Paolo Ruffini en Joseph-Louis Lagrange, gaf een criterium voor de oplosbaarheid van bepaalde veeltermvergelijkingen in termen van symmetriegroepen van de wortels ervan. De wortels zijn hier de oplossingen van de vergelijking. De elementen van een dergelijke galoisgroep komen overeen met bepaalde permutaties van de wortels. De ideeën van Galois werden eerst door zijn tijdgenoten verworpen en pas voor het eerst ruim vijftien jaar na zijn vroege dood werden zijn werken gepubliceerd.Galois, 1908Kleiner, 1986, blz 202 Meer algemene permutatiegroepen werden met name onderzocht door Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayleys On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (Over de groepentheorie, afhankelijk van de symbolische vergelijking θn = 1) uit 1854 geeft de eerste abstracte definitie van een eindige groep.Cayley, 1889

De meetkunde was een tweede terrein, waarop systematisch groepen werden gebruikt, vooral symmetriegroepen, als onderdeel van het Erlanger Programm van Felix Klein uit 1872.Wussing, 2007, § III.2 Nadat nieuwe vormen van meetkunden, zoals de hyperbolische- en de projectieve meetkunde waren ontstaan, gebruikte Klein de groepentheorie om deze nieuwe meetkunde op een meer coherente manier te organiseren. Deze ideeën verder bevorderend, legde Sophus Lie in 1884 het fundament voor de studie van de naar hem genoemde Lie-groepenLie, 1973

De getaltheorie was het derde veld dat bijdroeg aan de groepentheorie. Carl Friedrich Gauss maakte al impliciet in zijn Disquisitiones Arithmeticae uit 1798 van bepaalde abelse groep structuren gebruik en Leopold Kronecker daarna expliciet.Kleiner, 1986, pag. 204 In 1847 leidde Ernst Kummer vroege pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen naar de ontwikkeling van groepen die factorisatie in priemgetallen beschreven.Wussing, 2007, § I.3.4

De convergentie van deze verschillende bronnen in een uniforme groepentheorie begon in 1870 met Camille Jordans Traité des substitutions et des équations algébriques.Jordan, 1870 Walther von Dyck (1882) stelde als eerste een moderne definitie van een abstracte groepvon Dyck, 1882 op. Vanaf het begin van de 20e eeuw, kregen groepen een brede erkenning door het baanbrekende werk van Ferdinand Georg Frobenius en William Burnside, die werkte op het gebied van de representatietheorie van eindige groepen, Richard Brauers modulaire representatietheorie en de artikelen van Issai SchurCurtis, 2003 De theorie van de Lie-groepen, en meer in het algemeen de lokaal compacte groepen werd gepropageerd door Hermann Weyl, Élie Cartan en vele anderen.Mackey, 1976 De algebraïsche tegenhanger ervan, de theorie van de algebraïsche groepen, werd vanaf de late jaren dertig voor het eerst door Claude Chevalley vormgegeven en later voortgezet met belangrijk werk van Armand Borel en Jacques Tits.Borel, 2001

Het door de Universiteit van Chicago in het academisch jaar 1960-61 georganiseerde "Groepentheoriejaar" bracht een aantal vooraanstaande groepentheoretici, zoals Daniel Gorenstein, John Griggs Thompson en Walter Feit bij elkaar. Hierdoor werd het fundament van een samenwerking gelegd die, met inbreng van vele andere wiskundigen, in 1982 tot de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen zou leiden. Dit project overtrof alle vorige wiskundige inspanningen door zijn enorme omvang, zowel wat betreft de lengte van het bewijs als door het aantal onderzoekers. Er is nog steeds onderzoek gaande om het bewijs van deze classificatie te vereenvoudigen.Aschbacher, 2004 Deze dagen is de groepentheorie nog steeds een zeer actief deelgebied van de wiskunde met een cruciale invloed op vele andere takken van de wiskunde.

Definitie Een groep wordt gevormd door een verzameling met een associatieve binaire operatie , een voor de bewerking neutraal element en bij elk element een voor de bewerking invers element . In ieder geval is .

Uitgebreider geformuleerd:

Een groep is een verzameling , samen met een operatie die aan elke twee elementen en een element toevoegt. Het is gebruikelijk te noteren als . Het symbool is een algemene plaatshouder voor een concreet gegeven operatie, zoals de optelling hierboven. De verzameling en de operatie moeten voldoen aan vier eisen die samen bekendstaan als de groepsaxioma's:Herstein, 1975, §2.1, pag. 27

De groep is gesloten met betrekking tot de groepsbewerking: Voor alle is het resultaat van de groepsoperatie ook in . De groepsbewerking is associatief: Voor alle geldt de relatie: . Er is een neutraal element voor de groepsbewerking: Er bestaat een element , zodat voor alle elementen geldt dat Bij ieder element is er een invers element: Voor elke bestaat er een element , waarvoor geldt: .

Merk op dat een groep niet noodzakelijk commutatief hoeft te zijn. Het is niet noodzakelijk dat voor alle geldt dat . Als dit wel het geval is spreekt men van een commutatieve of abelse groep, genoemd naar de wiskundige Niels Abel.

Er wordt verder onderscheid gemaakt tussen eindige en oneindige groepen.

Voorbeelden De gehele getallen met de optelling, genoteerd als , is een abelse groep. De rationale getallen zonder de nul met de vermenigvuldiging (, · ) is een abelse groep. De natuurlijke getallen met de optelling is geen groep, want bijvoorbeeld 2 heeft geen inverse, omdat er geen natuurlijk getal is dat opgeteld bij 2 als resultaat 0 oplevert. Permutatiegroepen en matrixgroepen De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep. Bepaalde draaiingen en translaties vormen een groep, die toepassing vindt in de leer van de symmetrie, bijvoorbeeld translatiesymmetrie. Continue symmetrieën, zoals rotatiesymmetrie, worden door lie-groepen gemodelleerd.

Voorbeeld 1, gehele getallen Een van de bekendste groepen is de verzameling van gehele getallen , die bestaat uit de getallen Lang, 2005, App. 2, p. 360

De optelling van de gehele getallen heeft de volgende eigenschappen, die dienen als een model voor de abstracte groepsaxioma's die in de onderstaande definitie worden gegeven.

Voor elke twee gehele getallen en is de som ook een geheel getal. Met andere woorden, het proces van het bij elkaar optellen van twee gehele getallen heeft als resultaat weer een geheel getal. De gehele getallen zijn gesloten onder de operatie optellen. Voor alle gehele getallen en is . Eerst bij optellen en dan het resultaat hiervan bij optellen, geeft hetzelfde eindresultaat als het optellen van bij de som van en . Optellen is een associatieve bewerking. Voor elk geheel getal is . Het getal nul gedraagt zich neutraal ten opzichte van de optelling. Het wordt het neutrale element van de operatie optelling genoemd, of algemeen het identiteitselement, omdat het optellen van nul bij een willekeurig geheel getal ditzelfde gehele getal als resultaat oplevert. Voor elk geheel getal is er een geheel getal , zodanig dat . Het gehele getal wordt het inverse element van het gehele getal genoemd en gewoonlijk aangeduid door , door min a.

Voorbeeld 2, permutatiegroepen De groep van alle permutaties van een rij van elementen heet de symmetrische groep . De naam van deze groep is niet aan de symmetrie in de groep ontleend.

Voorbeeld 3, dihedrale groep De symmetrieën, dat wil zeggen rotaties en spiegelingen, van een vierkant vormen een groep die de dihedrale groep wordt genoemd.Herstein, 1975, §2.6, pag. 54 De dihedrale groep kent de onderstaande acht symmetrieën:

140px , onveranderd 140px , rotatie van 90° met de klok mee 140px , rotatie van 180° met de klok mee 140px , rotatie van 270° met de klok mee 140px , verticale flip 140px , horizontale flip 140px , diagonale flip 140px , tegen-diagonale flip De elementen van de symmetriegroep van het vierkant . De hoekpunten zijn alleen gekleurd en genummerd om de operaties te visualiseren.

* de identieke afbeelding, die alles onveranderd laat, aangeduid door id, * drie rotaties van het vierkant 90°, 180° en 270° met de klok mee, aangeduid door en , * vier spiegelingen over de verticale en horizontale middellijn en of door de twee diagonalen en .

+ Groepstabel van •