Eerlijk delen, ook halve substitutie genoemd, is in de analytische meetkunde een methode waarmee de vergelijking van een raaklijn aan een kegelsnede direct uit de vergelijking van die kromme kan worden afgeleid.
Als in een cartesisch coördinatenstelsel een dergelijke kromme met de algemene vergelijking is gegeven:
en op die kromme ligt het punt , dan bestaat eerlijk delen uit het toepassen van, waar mogelijk, de volgende substitutiesIn elk van de substitutieregels moet het teken worden gelezen als "wordt vervangen door". in de vergelijking van de kromme:
De getallen en worden hierbij dus eerlijk verdeeld over de variabelen en : de helft van de -en wordt vervangen door en de helft van de -en wordt vervangen door .
Toepassing van bovenstaande substitutieregels op de vergelijking geeft:
of, na ordening:
De vergelijking is een vergelijking van een lijn. Als het punt op de kromme ligt, gaat die lijn door dat punt. Immers, als de coördinaten van voldoen aan de vergelijking , dan voldoen ze ook aan de vergelijking .Dit blijkt door substitutie van en in de uitdrukkingen van en . Het resultaat daarvan is bij beide dezelfde uitdrukking.
De richtingscoëfficiënt van deze lijn is:
De zo bepaalde lijn is de raaklijn aan de kromme in het punt .
Voorbeelden Cirkel en , zodat Eerlijk delen levert als vergelijking voor de raaklijn :
Snijpunten met de cirkel:
dus is het enige gemeenschappelijke punt. Parabool en Dan is:
Dus:
Deze vergelijking wordt meestal geschreven als . Hyperbool
thumb|240px|Raaklijn aan de hyperbool in het punt
en Zodat:
De vergelijking van de raaklijn in het punt aan de hyperbool is dan:
of ook: of:
Algemeen Cirkel Is de vergelijking of middelpuntsvergelijking van een cirkel met middelpunt :
dan is deze vergelijking te schrijven als:
De vergelijking van de raaklijn in het punt van de cirkel is dan met eerlijk delen:
of, na ordening:
Wordt de vergelijking van de cirkel geschreven als:
dan blijkt dat ook deze schrijfwijze zich leent voor eerlijk delen.
Dit is ook van toepassing op de middelpuntsvergelijking van een ellips en van een hyperbool.
Parabool De vergelijking van een parabool met de top in het punt is: of ook: Uitgewerkt en op 0 herleid:
De vergelijking van de raaklijn in het punt van de parabool is dan met eerlijk delen:
of:
Waaruit blijkt dat ook bij de topvergelijking van de parabool de methode van eerlijk delen kan worden toegepast.
Poollijn Als het punt niet op de kegelsnede ligt met algemene vergelijking , dan wordt de lijn met vergelijking de poollijn genoemd van bij die kegelsnede.
Uit de theorie van de poolverwantschap bij kegelsneden volgt dat eerlijk delen om daarmee de vergelijking van een poollijn te bepalen bij alle typen reële kegelsneden kan worden toegepast.
Pooltheorie Ondergenoemde auteurs presenteren de pooltheorie als een bijzondere eigenschap van kegelsneden. De poollijn wordt namelijk aan de hand van het raaklijnbegrip beschreven, waarmee de indruk wordt gewekt dat de pooltheorie op de differentiaalrekening is gebaseerd. Zo is het in de geschiedenis niet gegaan en is het in de wiskunde niet het geval. De raaklijn van een kegelsnede is immers een speciaal geval van een poollijn. Zonder gebruik van differentiaalrekening leidde Joseph Gergonne de pooltheorie af uit meetkundige dualiteit en introduceerde de pool en poollijn.
Categorie:Algebraïsche meetkunde Categorie:Meetkunde