In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.
Definitionen Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentation
mit und für .
Die Bedingung bedeutet, dass unendliche Ordnung haben. Die Erzeuger sind alle nicht trivial und paarweise verschieden und die Produkte haben Ordnung .
Das Paar , bestehend aus einer Coxeter-Gruppe und einer Menge aus Erzeugern , wird als Coxeter-System bezeichnet und die Anzahl der Erzeuger wird Rang des Systems genannt. Zu einer Gruppe kann es verschiedene Coxeter-Systeme geben, welche sogar verschiedene Ränge besitzen können.
500px|rechts|mini|Klassifikation der Coxeter-Diagramme Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger , Kanten zwischen den und verbindenden Knoten genau für und einer Markierung der Kante durch für . Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei und jeweils für jedes einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.
Beispiele
Alle Diedergruppen sind Coxetergruppen, in Coxeters Klassifikation sind sie mit benannt. Die symmetrischen Gruppen bilden mit den Transpositionen für als Erzeuger Coxetersysteme vom Typ
Eigenschaften
Das direkte Produkt zweier Coxetergruppen und ist wieder eine Coxetergruppe. Das Coxeterdiagramm erhält man durch die disjunktene Vereinigung der Diagramme der Faktoren. Kann eine Coxetergruppe als ein solches Produkt geschrieben werden wird sie reduziebel genannt. Nicht reduzieble Coxetergruppen heißen irreduzibel. Äquivalent dazu ist die Eigenschaft, dass das Coxeter-Diagramm zusammenhängend ist. Das freie Produkt ist ebenfalls eine Coxetergruppe, deren Präsentation durch disjunkte Vereinigung der Erzeuger und Relationen gegeben ist. Auf Coxetergruppen lassen sich verschiedene partielle Ordnungen definieren. Zum Beispiel die Bruhat-Ordnung oder die schwache rechts (bzw. links) Ordnung. Coxetergruppen sind lineare Gruppen und somit zum Beispiel virtuell torsionsfrei.
Literatur Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934. Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form , J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.
Kategorie:Endliche Gruppe