Zu den grundlegenden Sätzen der Mengenlehre zählt der Satz von König (), der von dem ungarischen Mathematiker Julius König in den Jahren 1904/1905 entdeckt und publiziert wurde. Der Satz formuliert für gewisse Kardinalzahlen eine strikte Ungleichung, die manchmal auch als Ungleichung von Zermelo und König bezeichnet wird.
Aussage Für eine Familie von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit ,
und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,
Hierbei sind die paarweise disjunkte Mengen mit , zum Beispiel . Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.
Der Satz von König besagt nun:
Für zwei Kardinalzahlfolgen und mit für alle gilt: .
Beweis Seien , zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass . Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung
Für jedes sei ein Element aus . Sei . Dann gibt es ein eindeutiges mit . Sei die Funktion mit . Dann ist injektiv.
Sei nun eine beliebige solche Abbildung gegeben. Für definiere als ein Element aus . Dann ist an der Stelle verschieden von allen Bildern von aus . Da dies für alle gilt, ist nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.
Folgerungen Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten ( und seien Kardinalzahlen): Bezeichnet die Konfinalität von , so gilt für unendlich . für und unendlich .
Literatur
Einzelnachweise
Konig, Satz von Mengenlehre