Die Basisreproduktionszahl (; „R Null“ gesprochen), gelegentlich auch BasisreproduktionsrateDiese Bezeichnung ist insofern nicht korrekt, als die Reproduktionszahl R0 eine dimensionslose Zahl ist und somit formal keine auf eine bestimmte Zeiteinheit bezogene Rate; vgl. Christine Arcari: Understanding and measuring the dynamics of infectious disease transmission. In: G. Milligan, A. Barrett (Hrsg.): Vaccinology. An Essential Guide. Wiley-Blackwell, 2015, S. 310. genannt, ist – wie auch die Nettoreproduktionszahl ( bzw. ) – ein Begriff aus der Infektionsepidemiologie, mit dem die Ausbreitung des Erregers einer Infektionskrankheit unter bestimmten Bedingungen in einer Population beschrieben wird.
Die Basisreproduktionszahl ist ein Maß dafür, wie wirksam sich ein Infektionserreger durch erfolgreiche Übertragungen von einem auf andere Individuen in einer Population ausbreitet,Christine Arcari: Understanding and measuring the dynamics of infectious disease transmission. In: G. Milligan, A. Barrett (Hrsg.): Vaccinology. An Essential Guide. Wiley-Blackwell, 2015, S. 310. mit denen Infektionsfälle sich zu Beginn reproduzieren. Diese Reproduktionszahl ist der zu erwartende durchschnittliche Wert (Erwartungswert)Siehe Eintrag Erwartungswert und Varianz auf der Website mathematik.de der Deutschen Mathematiker-Vereinigung; abgerufen am 21. Juli 2021. für die Anzahl sekundärer Fälle, die durch einen einzelnen (primären) Fall eines (typisch) infektiösen Individuums während dessen gesamter Infektionsperiode in einer gänzlich empfänglichen Population hervorgerufen werdenLeonhard Held: Handbook of infectious disease data analysis. CRC Press (2019). S. 24. – also zu Beginn einer Epidemie vor Entwicklung spezifischer Immunität und bevor besondere Maßnahmen zum Infektionsschutz ergriffen wurden. Sie entspricht damit im weiteren Verlauf einer Epidemie nicht der tatsächlich – infolge Abnahme empfänglicher Individuen und als Folge eventueller Anwendungen oder Aufhebungen ausbreitungshinderlicher Maßnahmen veränderten – zu einem bestimmten Zeitpunkt auftretenden Nettoreproduktionszahl bzw. der effektiven Reproduktionszahl.H. Nishiura, G. Chowell: The Effective Reproduction Number as a Prelude to Statistical Estimation of Time-Dependent Epidemic Trends. In: G. Chowell, J. Hyman, L. Bettencourt, C. Castillo-Chavez (Hrsg.): Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology. Springer, Dordrecht 2009, S. 103 f.
ist keine biologische Konstante für einen Erreger, da sie wesentlich auch von anderen Faktoren wie den Umweltbedingungen und dem Verhalten der infizierten Bevölkerung beeinflusst wird. Darüber hinaus werden -Werte in der Regel anhand mathematischer Modelle geschätzt, und die geschätzten Werte hängen dann vom verwendeten Modell und den Werten anderer Parameter ab. Es macht einen Unterschied, ob die Werte für die ganze Bevölkerung eines Landes erhoben werden und somit teilweise sehr grobe Durchschnittszahlen ermittelt werden oder nur ein Ausbruch in kleinerem Maßstab betrachtet wird, ob Warnhinweise erfolgt sind und von der Bevölkerung befolgt werden, Abstands- oder Quarantäneregeln in Kraft gesetzt wurden. Die Basisreproduktionszahl lässt Schlüsse auf die Dynamik eines Krankheitsausbruchs zu, ist aber isoliert betrachtet wenig aussagekräftig. Daher wird oft zusätzlich der Überdispersionsparameter hinzugezogen. Dieser kann als Maß für die Wirkung von Superspreading interpretiert werden und gibt den Grad der Überdispersion an. Beide Parameter lassen sich gemeinsam mittels statistischer Verfahren schätzen.
Verwendung der Basisreproduktionszahl mini|Schematische Darstellung der Anzahl von Infizierten im Modell für unterschiedliche Werte der Reproduktionszahl bei einer angenommenen Generationszeit von 4 Tagen und einer Anfangszahl von 1000 Infizierten
Mit Hilfe der Basisreproduktionszahl kann man abschätzen, wie die Ausbreitung einer übertragbaren Krankheit zum Beginn einer Epidemie verläuft und welcher Anteil der Bevölkerung immun bzw. durch Impfung immunisiert sein muss, um eine Epidemie zu verhindern.Rafael Mikolajczyk, Ralf Krumkamp, Reinhard Bornemann et al.: Influenza – Einsichten aus mathematischer Modellierung, Dtsch Arztebl Int 2009; 106(47): 777-82 doi:10.3238/arztebl.2009.0777. In häufig verwendeten Infektionsmodellen kann sich die Infektion in einer Population ausbreiten, wenn ist, nicht aber, wenn ist. Im Allgemeinen gilt: Je größer der Wert von , desto schwieriger ist es, die Epidemie unter Kontrolle zu halten. Die Basisreproduktionszahl bezieht sich auf eine Population, in der alle Menschen für die Infektion empfänglich sind, also insbesondere keine Personen resistent sind. Sie wird durch Kontagiosität, die Populationsdichte und den Grad der Durchmischung der Bevölkerung bestimmt.Matthias Egger, Oliver Razum et al.: Public health kompakt. Walter de Gruyter, (2017), S. 441. Die Durchmischung ist ein Maß dafür, wie homogen die Interaktionen innerhalb der Bevölkerung sind; sie ist z. B. kleiner, wenn Menschen Gruppen bilden und vorzugsweise mit Menschen in ihrer eigenen Gruppe interagieren. Die Basisreproduktionszahl kann daher für denselben Erreger in verschiedenen Bevölkerungen höchst unterschiedlich ausfallen. Aus der Basisreproduktionszahl kann berechnet werden, wie hoch der immunisierte Anteil der Bevölkerung sein muss, um eine ausreichende Herdenimmunität dafür zu erreichen, dass die Krankheit langfristig in der gegebenen Population ausstirbt (siehe auch: die Mathematik der Impfungen). In einfachen Modellen wird die Herdenimmunität erreicht, wenn im Fall von ein Anteil von der Bevölkerung immunisiert ist.
Berechnung der Basisreproduktionszahl Die Basisreproduktionszahl kann für ein einfaches Infektionsmodell weiter aufgeschlüsselt werden:
mit , der mittleren Anzahl der Kontakte eines Infizierten pro Zeitspanne, , der mittleren Dauer der Infektiosität und , der Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt.Marc Lipsitch u. a.: Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome. Science, Band 300, 2003, S. 1966–1970, doi:10.1126/science.1086616.In der verwendeten Quelle Marc Lipsitch et al. findet sich die gleichwertige Angabe mit als Anzahl der Kontakte jedes Infizierten pro Zeitspanne, als Wahrscheinlichkeit der Übertragung pro Kontakt zwischen einem Infizierten und einem „Suszeptiblen“ sowie als mittlerer Dauer der Infektiosität. Zu Beginn der AIDS-Epidemie wurde diese Formel auch auf die Ausbreitung von HIV in der allgemeinen Bevölkerung, in der das Virus nur durch sexuellen Kontakt in beidseitig treuen Partnerschaften übertragen wird, angewendet.R.M. May, R.M. Anderson: Transmission dynamics of HIV infection. In: Nature, 1987, Band 326, S. 137–142. Daraus wurde geschlossen, dass schon fünf Partnerschaften im ganzen Leben genug wären, um eine HIV-Epidemie in der allgemeinen Bevölkerung zu generieren.J. Weyer: Über das Ansteckungspotential HIV-infizierter Personen. In: AIDS-Forschung, Band 5, 1990, S. 31–40. Aber bald erkannte man, dass die lange Inkubationszeit von Aids erfordert, dass die Lebensdauer (ohne Aids) und die Alterspräferenz bei der Partnerwahl in die Berechnung von R0 eingehen. R0 ist umso kleiner, je kleiner der mittlere Altersunterschied zwischen den Partnern ist. Bei strikter Präferenz für Gleichaltrige wäre jedes Glied einer Infektionskette älter als das vorausgehende Glied, und jede Kette würde abbrechen, sobald ein bestimmtes Alter erreicht ist oder der Tod aus anderer Ursache eintritt.H. Knolle: Age preference in sexual choice and HIV transmission. In: AIDS, Vol. 4 (1990), Nr. 7, S. 698.
Für weitere mathematische Hintergründe und Modelle siehe: Mathematische Modellierung der Epidemiologie SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung) SIS-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung) SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung) SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
Aus den Modellen können Schätzer für gewonnen werden. Betrachtet man zum Beispiel das SIR-Modell mit anfänglich exponentiellem Wachstum der Infizierten (Wachstumsexponent mit der Verdopplungszeit ), hat man die Gleichung:
wobei für den Beginn der Epidemie gesetzt werden kann, und damit den Schätzer:Odo Diekmann, Hans Heesterbeek, Tom Britton: Mathematical tools for understanding infectious disease dynamics. Princeton UP, 2013, S. 320.
Dabei ist die mittlere Zeit, in der ein Infizierter ansteckend ist.
Ein anderer Schätzer für geht von der Generationszeit aus:
was auf den Schätzer
führt, für kleine kann das durch genähert werden.
Schätzungen von , bei denen die Generationszeit keine Konstante ist, sondern einer Verteilungsfunktion gehorcht, gehen von der Euler-Lotka-Gleichung aus, die einen Zusammenhang zwischen der Basisreproduktionszahl und der Wachstumsrate liefert.
Für komplizierter Modelle ist die Berechnung von schwieriger. In verallgemeinerten SIR Modellen, in denen die Bevölkerung nicht als homogen angenommen wird (beispielsweise in altersstrukturierten Modellen), lässt sich als größter Eigenwert der „Next Generation Matrix“ berechnen. Diese Matrix ist das deterministische Analogon zur Matrix der ersten Momente in Modellen, die die Theorie der Galton-Watson-Prozesse mit mehreren Typen anwenden.K. B. Athreya, P. E. Ney: Branching Processes. Springer-Verlag, 1972.
Nettoreproduktionszahl Die Nettoreproduktionszahl wird von der Basisreproduktionszahl abgeleitet und gibt an, wie viele Menschen ein Infizierter durchschnittlich ansteckt, wenn ein gewisser Teil der Bevölkerung immun ist oder bestimmte Maßnahmen im Rahmen einer verordneten Massenquarantäne getroffen wurden, die zur Eindämmung dienen sollen. Andere Bezeichnungen für die Nettoreproduktionszahl sind die Nettoreproduktionszahl zu einer bestimmten Zeit sowie die effektive Reproduktionszahl , die an die englische Bezeichnung effective reproduction number angelehnt ist. Werden keine Kontrollmaßnahmen ergriffen, ist , wobei die Anzahl „suszeptibler“ (für Ansteckung empfänglicher) Personen ist und die Gesamtzahl der Personen einer Population;In der verwendeten Quelle Marc Lipsitch et al. findet sich die Angabe , wobei die effektive Reproduktionszahl und der Anteil der „Suszeptiblen“ an der Gesamtbevölkerung ist. Wegen gilt die beschriebene Identität . ist also die Wahrscheinlichkeit, bei einem Kontakt auf eine infizierbare Person zu treffen. Mit Kontrollmaßnahmen – etwa Hygiene- und Distanzierungsmaßnahmen zur Verringerung der Übertragungsrate pro Kontakt, einer Verringerung der Zahl und Dauer der Kontakte und/oder der Begrenzung der Interaktionen auf kleinere Gruppen – nimmt die effektive Reproduktionszahl weiter ab.
Da oft Teile der Bevölkerung immun gegen eine Krankheit sind, während deren Ausbreitung wirksame Gegenmaßnahmen ergriffen werden, oder wenn nachträglich eine Immunität gegen die Krankheit entwickelt wird, gewinnt die Nettoreproduktionszahl im Verlauf einer Ausbreitung immer größere Bedeutung. Das Ziel von Eindämmungsmaßnahmen ist es im Regelfall, die Nettoreproduktionszahl unter 1 zu drücken. Denn erst, wenn die Nettoreproduktionszahl kleiner als 1 ist, sinkt die Zahl der Infizierten und die Erkrankung verschwindet irgendwann gänzlich.
Nettoreproduktionszahl am Beispiel der COVID-19-Pandemie in Deutschland