Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführtAlain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40. und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Symbolklassen Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

Definition Seien natürliche Zahlen, eine offene Teilmenge und reelle Zahlen mit und . Dann versteht man unter die Menge aller glatten Funktionen , so dass für jede kompakte Menge und alle die Ungleichung

für eine Konstante erfüllt ist. Die Elemente von werden Symbole der Ordnung und des Typs genannt. Außerdem werden die Symbolklassen und durch

definiert.

Topologisierung Die besten Konstanten der Ungleichung

das heißt die Konstanten

sind Halbnormen. Diese machen die Räume zu Fréchet-Räumen. Da gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch ein Fréchetraum.

Beispiele Sei eine offene Teilmenge. Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von . Sei

mit Koeffizientenfunktionen ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung . Dann gilt . Sei mit . Dann gilt .

Eigenschaften Die Symbolklassen sind für alle , und Montel-Räume. Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung

linear und stetig ist. Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich

Diese Abbildung ist bilinear und stetig. Für gilt . Sei positiv homogen vom Grad m für , das heißt

für und . Dann gilt . Sei offen und . Auf beschränkten Teilmengen von ist die durch induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz. Sei . Dann ist in der -Topologie dicht in .

Asymptotische Entwicklung eines Symbols Definition Sei ein Symbol. Existieren mit

so dass

für jede positive Zahl gilt. Die formale Reihe ist eine asymptotische Entwicklung von und man schreibt

Eindeutigkeit Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse . Präzise formuliert heißt das:

Sei eine Zerlegung mit und sei . Dann existiert ein Symbol , so dass

gilt. Gibt es ein weiteres Symbol mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt .

Klassisches Symbol Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.

Ein Symbol heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür , wenn es eine Ausschälfunktion gibt und Funktionen , so dass jedes positiv homogen von der Ordnung in der Variablen ist. Es muss also

gelten und außerdem muss

für alle gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von .

Einzelnachweise

Literatur Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6 Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4

Kategorie:Funktionalanalysis