Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury) der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.
In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.
Änderung vom Rang 1 Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1. Für gilt
wobei mit die Einheitsmatrix gemeint ist. Die Aussage prüft man elementar nach.
Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix : Für gilt
Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.
Änderung vom Rang k Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel nach der Woodbury-Matrix-Identität in folgender Weise: Die -Matrix sei regulär, dann gilt
Literatur Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.
Einzelnachweise
Kategorie:Lineare Algebra