Die Dunford-Pettis-Eigenschaft, benannt nach den US-amerikanischen Mathematikern N. Dunford und B. J. Pettis, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.
Definition Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:
Ein Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum jeder schwach-kompakte lineare Operator bereits vollstetig ist.
Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, habe oder sei DPP.
Beispiele Die Folgenräume , und haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume hingegen nicht. Ist ein endlicher Maßraum, so hat L1 die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung. Ist ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum der stetigen Funktionen die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde. Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
Eine Charakterisierung Für einen Banachraum sind folgende Aussagen äquivalent: hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Ist eine Folge in mit schwachem Grenzwert und eine Folge im Dualraum mit schwachem Grenzwert , so gilt für . Ist eine Folge in mit schwachem Grenzwert und eine Folge im Dualraum mit schwachem Grenzwert , so gilt für .
Eigenschaften Hat der Dualraum des Banachraums die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch .
Da als kommutative C*-Algebra von der Form ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da und (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch und die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.
Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.
Quellen
Kategorie:Funktionalanalysis