mini|3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders (Animation) mini|Drahtgittermodell eines Pentagonhexakontaeders mini|Netz des Pentagonhexakontaeders
Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.
Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.
Entstehung mini|Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Dodekaeder
Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Nachfolgend bezeichne der Term den Kosinus des kleineren Zentriwinkels im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck; sei die Goldene Zahl.
ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung .
Sei die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch
.
Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
Verwandte Polyeder
Formeln Für das Polyeder Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge a bzw. bDiese Formeln gelten für den Fall . VolumenDiese Formel gilt auch für das Pentagonikositetraeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist. ≈ 35,42a3 ≈ 189,84b3 Oberflächeninhalt ≈ 53,14a2 ≈ 162,73b2 Kantenkugelradius Inkugelradius Flächenwinkel ≈ 153° 10′ 43″ Sphärizität ≈ 0,98163
Für die Begrenzungsflächen Größen des Tangentenfünfecks Flächeninhalt Inkreisradius Diagonale Stumpfe Winkel(4) ≈ 118° 8′ 12″ Spitzer Winkel (1) ≈ 67° 27′ 13″
Anwendung mini|Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders
In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („dimples“) eines Golfballs auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.
Anmerkungen und Einzelnachweise
Weblinks
Lichtkunst in einem Pentagonhexakontaederkristall
Kategorie:Catalanischer Körper