Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.
Definition Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung ist bei
wobei die Eulersche Betafunktion ist. Eigenschaften Erwartungswert und Varianz Der Erwartungswert ist , für und die Varianz , für Modus Der Modus ist , für
Sonderfall δ=1 Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion
Da wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem Parameter .
Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung Eine Gamma-Gamma-Verteilung entspricht einer inversen Betaverteilung
Beziehung zur Gammaverteilung Ist der zweite Parameter der Gammaverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.
Beziehung zur Exponentialverteilung Ist der Parameter der Exponentialverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.
Literatur Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2
Siehe auch Exponentialverteilung
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung