Das CBH-Theorem ist eine informationstheoretische Rekonstruktion der Quantenmechanik, die 2003 von Rob Clifton, Jeffrey Bub und Hans Halvorson ausgearbeitet wurde und in dessen Name die Anfangsbuchstaben seiner Entwickler eingegangen sind.
Gemäß dem CBH-Theorem kann die Quantenmechanik aus drei informationstheoretischen Prinzipien und einigen mathematischen Hilfspostulaten abgeleitet werden. Ausgehend von dem CBH-Theorem schlägt Bub vor, dass die Quantenmechanik nicht als eine Theorie über die mechanischen Eigenschaften nichtklassischer Wellen oder Teilchen, sondern als eine Theorie über die Möglichkeiten und Grenzen der Übertragung von Information zu interpretieren sei.
Bubs Interpretation fand in der Fachwelt einige Beachtung, wird jedoch überwiegend abgelehnt.C.G. Timpson, Philosophical Aspects of Quantum Information Theory, in D. Rickles (ed.), The Ashgate Companion to the New Philosophy of Physics (Ashgate 2008), S. 245 ff. .
Hintergrund
Hinsichtlich ihres empirischen Erfolges gilt die Quantenmechanik als eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt. Die Frage, wie die Quantenmechanik zu interpretieren ist, wird jedoch kontrovers diskutiert. Zwar ist die orthodoxe Interpretation bis heute weit verbreitet, jedoch wurden verschiedene Vorbehalte gegen diese Interpretation vorgebracht, darunter insbesondere verschiedene Kritikpunkte rund um das Messproblem. Neben der orthodoxen Interpretation existiert eine Vielzahl alternativer Interpretationen, die jedoch ebenfalls konzeptionelle und/oder philosophische Probleme aufweisen und nicht allgemein akzeptiert sind.
Ein grundsätzliches Problem bei der Interpretation physikalischer Theorien ist das Problem der Unterbestimmtheit. Ein weiteres Problem sehen verschiedene Philosophen bei den gängigen Interpretationen, wie z. B. von Neumanns orthodoxer Interpretation, oder der De-Broglie-Bohm-Theorie, in der Verwendung einer grundsätzlich ungeeigneten Methodik: Bei diesen Interpretationen wird der mathematische Formalismus vorausgesetzt und dann versucht, den formalen Begriffen der Theorie, wie z. B. dem quantenmechanischen Zustand, eine semantische Bedeutung zu geben. So interpretierte Theorien werden auch als konstruktive Theorien bezeichnet. Bei anderen Theorien, wie z. B. der Relativitätstheorie, habe sich jedoch – so Bub – ein anderer Zugang, die Formulierung als Prinzip-Theorie, als erfolgreicher erwiesen: Einsteins Ausgangspunkt für die Herleitung und Deutung der speziellen Relativitätstheorie waren nicht die Lorentztransformationen, sondern physikalische Prinzipien, das Relativitätsprinzip und die Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen, aus welchen er dann in einem zweiten Schritt die Grundgleichungen der Theorie abgeleitet hat. Die zuvor als notwendig erachtete Annahme eines Lichtäthers erwies sich damit als überflüssig.
In ähnlicher Form sei auch eine Rekonstruktion der Quantenmechanik, d. h. ihre Ableitung aus geeignet gewählten physikalischen Prinzipien, erforderlich. Erst aus der Perspektive dieser Prinzipien lasse sich eine sinnvolle Interpretation der Quantenmechanik formulieren. Es existiert eine Reihe verschiedener Vorschläge für axiomatische Rekonstruktionen der Quantenmechanik, wobei die meisten dieser Ansätze seit Anfang der 1990er auf informationstheoretischen Prinzipien basieren.Alexei Grinbaum: Reconstruction of Quantum Theory (PDF; 170 kB), Brit. J. Phil. Sci. 8 (2007), S. 387–408. Neben Rovellis „Relationaler Interpretation“C. Rovelli: Relational Quantum Mechanics, International Journal of Theoretical Physics 35 (1996), S. 1637–1678. . und Zeilingers „Grundprinzip der Quantenphysik“A. Zeilinger: (PDF; 595 kB), Found. Phys. 29 (1999), S. 631–643. zählt das CBH-Theorem zu den bekanntesten informationsbasierten Rekonstruktionen.
Axiome des CBH-Theorems
Das CBH-Theorem besagt, dass die Quantenmechanik aus folgenden drei informationstheoretischen Prinzipien abgeleitet werden kann:R. Clifton, J. Bub und H. Halvorson, Characterizing Quantum Theory in Terms of Information-Theoretic Constraints, Foundations of Physics 33 (2003), S. 1561. CBH1: Es ist keine überlichtschnelle Übertragung von Information zwischen zwei Systemen möglich („no signaling“). Dies impliziert insbesondere, dass, wenn Alice und Bob jeweils lokale Messungen durchführen, die von Alice durchgeführte Messung keinen Einfluss auf die Statistik von Bobs Messergebnissen hat, und umgekehrt. Das Axiom CBH1 entspricht dem No-Signalling-Theorem der Quantenmechanik, ist beim CBH-Theorem jedoch nicht aus der Quantenmechanik abgeleitet, sondern als grundlegendes Prinzip vorausgesetzt. CBH2: Es ist nicht möglich, eine Kopie der Information zu erstellen, die in einem unbekannten Zustand enthalten ist („no broadcasting“). Dieses Postulat ähnelt dem No-Cloning-Theorem, hat jedoch einen größeren Gültigkeitsbereich, da es (im Gegensatz zum No-Cloning-Theorem) nicht auf reine Zustände beschränkt ist, sondern für beliebige quantenmechanische Zustände vorausgesetzt wird. In der klassischen Informationstheorie ist das Kopieren von Information möglich, das Axiom CBH2 begründet also einen prinzipiellen Unterschied zwischen klassischer Informationstheorie und der Quantenmechanik. CBH3: Es ist kein sicheres Bit-Commitment-Protokoll möglich („no bit“). Bei diesem quantenkryptographischen Protokoll erfolgt die Informationsübertragung in zwei Schritten: In einem ersten Schritt sendet Alice ein verschlüsseltes Bit an Bob, in einem zweiten Schritt sendet sie weitere Information zur Entschlüsselung. Das Bit-Commitment-Protokoll wird als sicher bezeichnet, wenn erstens sichergestellt ist, dass Bob den Wert erst entschlüsseln kann, wenn er von Alice weitere Information zur Entschlüsselung erhält, und zweitens Bob sicher sein kann, dass der entschlüsselte Wert tatsächlich mit dem (unverschlüsselten) Wert übereinstimmt, den Alice beim Senden des Bits zugrunde gelegt hatte.
Der Begriff „Information“ wird hier in seinem technischen Sinn als die Größe verwendet, die durch die shannonsche bzw. von-Neumannsche Entropie quantifiziert wird.
Der zweite Schritt der Rekonstruktion besteht in einer Überführung der drei Prinzipien in eine mathematische Darstellung. Formaler Ausgangspunkt des CBH-Theorems ist eine allgemeine abstrakte Charakterisierung physikalischer Theorien im Rahmen der C*-Algebra, die unter anderem als spezielle Fälle die mathematischen Strukturen der klassischen Physik sowie aller Variationen der Quantenphysik (inklusive der Quantenfeldtheorie) umfasst. Die drei CBH-Prinzipien filtern aus dieser Obermenge mathematischer Strukturen der C*-Algebra jene Strukturen heraus, welche die CBH-Prinzipien verletzen. Die verbliebenen C*-Algebren weisen die bekannten Eigenschaften der Quantentheorie auf: Das Superpositionsprinzip und die Nicht-Kommutativität der Observablen einzelner Systeme, zwei für die Quantenmechanik charakteristische Eigenschaften, ergeben sich im Rahmen des CBH-Theorems als Folge des „no broadcasting“-Prinzips (CBH2), und die quantenmechanische Verschränkung lässt sich auf das „no bit“-Prinzip (CBH3) zurückführen. Gemäß CBH ist jede physikalische Theorie, die sich im Rahmen der C*-Algebra formulieren lässt und die 3 CBH-Prinzipien erfüllt, eine Quantentheorie.
Andere Interpreten bezweifeln, dass das CBH-Theorem alle notwendigen Voraussetzungen erfüllt, die an eine axiomatische Methode zur Herleitung von Quantentheorien gestellt werden. So zeigten die Physiker Lee Smolin und Robert Spekkens, dass aus den CBH-Axiomen auch Theorien abgeleitet werden können, die nicht als sinnvolle Quantentheorien angesehen werden können.J. A.Smolin, Can Quantum Cryptography Imply Quantum Mechanics?, Quantum Information and Computation 5 (2005), S. 161. .R. Spekkens, In defense of the epistemic view of quantum states: A toy theory, Phys. Rev. A 75 (2007), S. 032110. . Weiterhin legen diese Analysen nahe, dass die Eigenschaften der rekonstruierten Quantentheorien nicht nur auf die drei CBH-Prinzipien zurückzuführen sind, sondern (entgegen der Zielsetzung des CBH-Programms) auch in starkem Maße durch die Wahl der C*-Algebra als mathematischem Rahmen bestimmt sind. Als weiterer Schwachpunkt gilt die Tatsache, dass die Dynamik der Quantentheorie (d. h. die Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustandes) nicht aus dem CBH-Theorem abgeleitet werden kann.
Bubs Interpretation Aus der Aussage des CBH-Theorems, dass die informationsbasierten CBH-Prinzipien eine hinreichende Basis zur Herleitung von Quantentheorien darstellen, leitet J. Bub die These ab, dass Quantentheorien nicht als Theorien über mechanische Eigenschaften physikalischer Objekte (z. B.: Teilchen oder Wellen) zu interpretieren seien, sondern als Theorien über die Möglichkeiten und Grenzen der Übertragung von Information.J. Bub, Why the quantum?, Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 35 (2004), S. 241 . J. Bub, Quantum mechanics is about quantum information, Found. Phys. 35 (2005), S. 541. Information sei daher als eine physikalische Fundamentalgröße zu betrachten.
Mechanische Theorien von Quantenphänomenen (darunter versteht Bub Verborgene-Variablen-Theorien, wie z. B. die De-Broglie-Bohm-Theorie) seien hingegen nicht akzeptabel. Dies gelte insbesondere für Theorien, die dynamische Beschreibungen des Messprozesses bereitstellen.
Bubs Hauptargumente und ein Überblick über ihre Beurteilung in der Fachwelt sind im Folgenden dargestellt.
Kriterien zur Theorie-Auswahl Bub vertritt den Standpunkt, dass aus dem CBH-Theorem abgeleitete Quantentheorien gegenüber Alternativ-Theorien zu bevorzugen sind, da es sich bei ihnen um Prinzip-Theorien handelt.
Bestandteil einer Quantentheorie sei genau das, was zu ihrer Herleitung, d. h. zur Rekonstruktion ihres mathematischen Formalismus, benötigt wird, und die Theorie sei genau in dem Umfang valide, in dem ihre empirischen Prinzipien gültig sind.
Zusätzliche Strukturen, wie sie in Verborgene-Variablen-Theorien postuliert werden, hätten den gleichen Status wie der Lichtäther: Ihre Einführung basiere nicht auf empirischen Prinzipien, sondern auf unzureichend gerechtfertigten philosophischen A-priori-Annahmen, die nicht als Basis zur Formulierung physikalischer Theorien geeignet seien.