mini|300px|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) oder Betragsverteilung 2. Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.
Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.
Definition Eine stetige Zufallsvariable heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Momente Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden: , wobei die Gammafunktion darstellt.
Erwartungswert Der Erwartungswert ergibt sich zu .
Varianz Die Varianz der Verteilung ist . Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant: .
Schiefe Für die Schiefe erhält man .
Wölbung (Kurtosis) Die Wölbung ergibt sich zu .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ist .
wobei die komplexe Fehlerfunktion ist.
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch , wobei wiederum die Fehlerfunktion ist.
Entropie Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu , wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.
Modus Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für , denn für gilt . Damit ist der Modus der Rayleigh-Verteilung.
Im Maximum hat den Wert .
Parameterschätzung
Die Maximum-Likelihood-Schätzung von aus Messwerten erfolgt über:
Beziehungen zu anderen Verteilungen Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.
Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung Wenn , dann ist Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden:
Beziehung zur Weibull-Verteilung
Beziehung zur Rice-Verteilung
Beziehung zur Exponentialverteilung Wenn exponentialverteilt mit ist, dann ist .
Beziehung zur Gammaverteilung Wenn , dann ist gammaverteilt mit den Parametern und : .
Beziehung zur Normalverteilung ist Rayleigh-verteilt, wenn und zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.
Literatur
Horst RINNE: Taschenbuch der Statistik. Verlag Harri Deutsch (2008), ISBN 978-38171-1827-4, Seite 297 Catherine FORBES, Merran EVANS, Nicholas HASTINGS, Brian PEACOCK: Statistical Distributions, 4. Auflage, John Wiley & Sons (2011), ISBN 978-0-470-39063-4, Kapitel 39
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:John Strutt, 3. Baron Rayleigh, als Namensgeber