Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:
wobei die Ordnung von bezeichnet, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.
Man definiert außerdem und .
Die ersten Werte (beginnend bei ) sind 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836)Vgl. Folgen A026424 und A028260.
Eigenschaften Es giltKimberly Lloyd: Auf: PlanetMath.org. (englisch)
Die Liouville-Funktion hängt mit der Möbius-Funktion zusammen durchA. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics.
Reihen Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken:Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch
wobei die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.
Summen mini|Graph von bis n=10.000 mini|Graph von bis
Es sei
Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets
Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.
Eine verwandte Summe ist
Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass unendlich oft negative Werte annimmt.Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145. Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: (23. Juni 2009).
Chowla-Vermutung Eine Vermutung von Sarvadaman ChowlaSarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert’s tenth problem, Gordon and Breach 1965 besagt, dass für verschiedene natürliche Zahlen gilt:
(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit , siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für . Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla’s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.
Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von für eine zufällig gewählte natürliche Zahl und beliebige asymptotisch für gleichverteilt ist.Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao
Weblinks
Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org.
Einzelnachweise
Kategorie:Zahlentheoretische Funktion