Die Beta-Binomialverteilung ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist univariat. Sie kann als eine Art Verallgemeinerung der Binomialverteilung angesehen werden, da in dieser die Wahrscheinlichkeit von Erfolgen auf bei gegebener Wahrscheinlichkeit eines Einzelerfolges angegeben wird, während in der Beta-Binomialverteilung die Erfolgswahrscheinlichkeit nur ungenau bekannt ist und durch eine Betaverteilung B(a,b) beschrieben wird. Es handelt sich somit um eine Mischverteilung.
Die Beta-Binomialverteilung hat drei Parameter: n, a, b.
Definition mini|Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Beta-Binomialverteilung für unterschiedliche Parameter mini|Die Verteilungsfunktion der Beta-Binomialverteilung für unterschiedliche Parameter
Eine Zufallsvariable hat eine Beta-Binomialverteilung mit den Parametern , und , in Zeichen , wenn sie für alle aus dem Träger die Wahrscheinlichkeitsfunktion
hat, wobei die Betafunktion ist.
Konstruktion Ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung und die Dichte der Beta-Verteilung, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Mischverteilung als .
Das Integral entspricht genau der obigen Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Alternative Darstellung Alternativ lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion auch darstellen als
Dabei ist die Konstante C eine Normierungskonstante und wird folgendermaßen berechnet:
Dabei ist die Gammafunktion.
Eigenschaften Erwartungswert Der Erwartungswert hängt von allen drei Parametern ab:
Varianz Die Varianz ist:
Schiefe Die Schiefe wird angegeben mit
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Beta-Binomialverteilung ist .
Hierbei ist die gaußsche hypergeometrische Funktion.
Charakteristische Funktion Durch Substitution folgt daraus die charakteristische Funktion: . Momenterzeugende Funktion Damit ist die momenterzeugende Funktion .
Spezialfälle
Falls und , dann handelt es sich um eine diskrete Gleichverteilung mit , da der Träger Werte beinhaltet.
Anwendungsbereiche
Die Beta-Binomialverteilung wird typischerweise in Fällen angewendet, bei denen man üblicherweise eine Binomialverteilung benutzen würde, aber nicht davon ausgehen kann, dass alle Einzelereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben einzutreten, sondern diese Wahrscheinlichkeiten mehr oder minder glockenförmig um einen Wert liegen.
Will man zum Beispiel wissen, wie viele Glühlampen innerhalb der nächsten 12 Monaten ausfallen werden, geht aber davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls einer Glühlampe zwischen verschiedenen Lieferkartons abweicht, dann ist eine Beta-Binomialverteilung angebracht.
Empirisch kann man vermuten, mit einer Beta-Binomialverteilung zu tun zu haben, obwohl man eher an ein Binomialmodell denken würde, falls die Daten mehr streuen als von der Binomialverteilung vorgesehen.
Beispiel
Modell in der bayesschen Statistik Eine Urne enthält eine unbekannte Anzahl von Bällen, von denen man aus anderen Stichproben weiß, dass der Anteil roter Bälle von einer Betaverteilung beschrieben wird.
Es sollen n-mal Bälle gezogen werden (mit Zurücklegen). Die Wahrscheinlichkeit, dass x-mal ein roter Ball gezogen wird, ist in der Beta-Binomialverteilung .
Zahlenbeispiel
Ausgehend von einer kompletten Unwissenheit der apriori Verteilung, die mit einer beschrieben wird (Alternativen sind z. B. ), wird eine „Vorstudie“ mit einer Ziehung (mit Wiederholung) von 15 Bällen organisiert. Einer dieser Bälle ist rot. Somit wird die a posteriori Verteilung mit der beschrieben.
Die eigentliche „Studie“ sieht eine Ziehung von 40 Bällen vor. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Mal ein roter Ball gezogen wird.
Da in dieser zweiten Ziehung die Wahrscheinlichkeit jene einer ist, lässt sie sich wie folgt berechnen: , wobei
und da und außerdem allgemein ist, erhält man
300px|mini|Die im Beispiel benutzten Zufallsvariablen
Dieses Ergebnis weicht wesentlich von jenem, welches mit einer „einfachen“ Binomialverteilung berechnet worden wäre, ab. In diesem Fall wäre das Ergebnis .
Aus der Grafik wird ersichtlich, dass die „einfache“ Binomialverteilung weniger Ergebnisse „zulässt“ als die . Dies geschieht, da man in dem bayesschen Modell nicht vernachlässigt, dass der „wahre“ Anteil an roten Bällen im Grunde unbekannt ist, und somit die Ergebnisse stärker streuen.
Literatur Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, Unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2. Jim Albert: Bayesian Computation With R, Springer New York, 2009, ISBN 978-0-387-92297-3, .
Siehe auch Poisson-Gamma-Verteilung
Weblinks
http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/Distributions/Discrete_distributions/Beta-Binomial_distribution.htm
Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung