Schwingung

Als Schwingungen oder Oszillationen ( ‚schaukeln‘) werden wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems bezeichnet. Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten.13 Schwingungen. (PDF; 92 kB) TU Cottbus. Beispiele für Schwingungen sind in der Mechanik, in der Elektrotechnik, der Biologie, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen.

Man unterscheidet: periodische und nichtperiodische (quasiperiodische oder chaotischeMichel Hénon: Numerical exploration of Hamiltonian Systems. In: Gérard Iooss, Robert H. G. Helleman, Raymond Stora (Hrsg.): Chaotic Behaviour of Deterministic Systems. North-Holland, 1983, S. 53–76.Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books, 2001, S. 273 ff., Kapitel 8.6 – Coupled Oscillators and Quasiperiodicity.) Schwingungen ungedämpfte, gedämpfte und aperiodische Schwingungen freie, erzwungene (fremderregte), selbsterregte und parametererregte Schwingungen lineare und nichtlineare Schwingungen Schwingungen mit einem Freiheitsgrad, mit mehreren Freiheitsgraden und mit unendlich vielen Freiheitsgraden (Schwingungen eines Kontinuums) kontinuierliche Schwingungen und Oszillation zwischen diskreten Zuständen

Alle diese Eigenschaften können kombiniert sein.

Als Vibration werden periodische, mit Verformung verbundene mechanische Schwingungen eines Körpers bezeichnet. Eine Schwingung, die zur Informationsübermittlung dient, nennt man manchmal Signal, zum Beispiel elektrisches Signal. Die räumliche Ausbreitung einer Störung oder Schwingung ist eine Welle. mini|Gegenüberstellung elementarer Schwingungsformen. Die waagerechte Achse stellt die Zeit dar

Harmonische Schwingungen

Als harmonisch wird eine Schwingung bezeichnet, deren Verlauf durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann.

Die Grafik zeigt eine harmonische Schwingung mit der Auslenkung , der Amplitude und der Periodendauer .

Die Auslenkung zu einem Zeitpunkt gibt den momentanen, die Amplitude den maximal möglichen Wert der Größe an. Die Periodendauer oder die Schwingungsdauer ist die Zeit, die verstreicht, während ein schwingungsfähiges System genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d. h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der Kehrwert der Periodendauer T ist die Frequenz f, also: . Statt f wird auch der griechische Buchstabe (Ny) verwendet. Die Einheit der Frequenz ist Hertz (1 Hz = 1 s−1).

Eine ungedämpfte Schwingung ist harmonisch, wenn die Rückstellgröße (die rückstellende Kraft) proportional zur Auslenkung beispielsweise eines Federpendels ist. Hierbei spricht man auch von einem harmonischen Oszillator oder einem linearen System, da die rückstellende Kraft sich linear mit der Auslenkung ändert: Verdoppelt sich diese, verdoppelt sich auch der Betrag der rückstellenden Kraft . Dies führt auf eine lineare Differentialgleichung der Form für alle Zeiten , wobei ein positiver Proportionalitätsfaktor ist, welcher sich aus der Lösung der Gleichung mit ergibt.

Eine solche Schwingung, d. h., eine Lösung der vorstehenden Differentialgleichung, lässt sich allgemein beschreiben durch

mit  = Amplitude und  = Nullphasenwinkel der Schwingung.

Das -fache der Frequenz, , ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Durch Verwendung der Kreisfrequenz ergibt sich eine kompaktere Schreibweise:

Linear gedämpfte Schwingung

Makroskopische physikalische Systeme sind immer gedämpft. Da sie beispielsweise durch Reibung Energie an die Umgebung abgeben, nimmt die Amplitude ihrer Schwingung im Laufe der Zeit ab. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dieses letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht. Perpetua mobilia sind also (siehe Energieerhaltungssatz) nicht möglich.

Stellt man die Bewegungsgleichung eines Federpendels mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung auf, so ergibt sich folgende Differentialgleichung:

Dabei ist die Masse, die Dämpfungskonstante und die Federkonstante. (Für Drehschwingungen ist durch das Trägheitsmoment und durch den Auslenkungswinkel zu ersetzen.)

Hierbei handelt es sich um eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, die sich auf die allgemeine Form

bringen lässt, wenn man die (positiven) Abkürzungen für die Abklingkonstante

und die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz

einführt, deren Bedeutungen erst bei der Interpretation der Lösung deutlich werden.

Beim klassischen Weg zur Lösung einer solchen linearen homogenen Differentialgleichung (alternativ kann man Methoden der Operatorenrechnung benutzen) können mit Hilfe des Ansatzes

mit gegebenenfalls komplexem Parameter zwei linear unabhängige Lösungen gefunden werden, welche ein Fundamentalsystem bilden. Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich:

Das Polynom

ist das charakteristische Polynom der Differentialgleichung; die Differentialgleichung kann nur dann erfüllt sein, wenn das eine Nullstelle des Polynoms ist, da die Exponentialfunktion niemals null wird. Abhängig von der Diskriminanten

dieser quadratischen Gleichung besitzt das Polynom zwei reelle, zwei konjugiert komplexe oder eine doppelte Nullstelle. Das Verhalten des Systems ist von der Art der Nullstellen abhängig, was eine Fallunterscheidung erforderlich macht.

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen zeigt, dass die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung eine Linearkombination ihrer Fundamentallösungen ist. Besitzt das charakteristische Polynom zwei Lösungen (also ist die Diskriminante ungleich 0), dann lässt sich die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung wie folgt schreiben:

Die beiden (im Allgemeinen komplexen) Konstanten und repräsentieren die zwei noch vorhandenen Freiheitsgrade der allgemeinen Lösung. Durch die Festlegung von zwei Anfangsbedingungen (z. B. oder/und ) müssen die beiden Konstanten für einen konkreten Fall präzisiert werden. mini|700x700px|Schwingfall (links), Aperiodischer Grenzfall (mittig) und Kriechfall (rechts) einer gedämpften Schwingung. Hat das charakteristische Polynom eine doppelte Nullstelle, ist die Lösung

Schwingfall Eine Schwingung kann es nur geben, wenn die Verluste gering sind. Dann ist mit die Diskriminante negativ, der Wurzelausdruck imaginär und man erhält zwei konjugiert komplexe Lösungen: . Mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz: . ergibt sich kürzer: . Damit erhält man

Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lässt sich die Lösung der homogenen Differentialgleichung auch in trigonometrischer Form angeben. Wenn die Anfangsbedingungen reell sind, dann sind auch die Koeffizienten in der trigonometrischen Form reell und dadurch praktisch besser interpretierbar:

oder

Auch hier sind jeweils die beiden Konstanten und bzw. und durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Insbesondere die letzte Form ist leicht als „gedämpfte Schwingung“ zu interpretieren.

Durch Vorgabe der zwei Anfangsbedingungen und können die beiden Konstanten eliminiert werden. Ausgehend von der ersten trigonometrischen Form erhält man die konkrete von beiden Anfangsbedingungen abhängige Lösung

Wenn die Abklingkonstante gleich Null ist, bleibt die Amplitude konstant. Die Schwingung ist ungedämpft mit der Kreisfrequenz .

Aperiodischer Grenzfall Die Grenze, ab der keine Schwingung mehr möglich ist, bildet der aperiodische Grenzfall ( bzw. ). Die Lösung enthält dann keine Sinusfunktion. Die allgemeine Lösung ist:

Kriechfall Bei hoher Dämpfung, also für ergibt sich der Kriechfall, dessen Lösung sich aus zwei Exponentialfunktionen mit den beiden reellen zusammensetzt:

mit . Ähnlich wie im Schwingfall lässt sich dies in Termen der Hyperbelfunktionen schreiben:

oder .

Frequenzspektrum mini|hochkant=1.6|Zusammenhang von Zeit- und Frequenzbereich

Eine Schwingung lässt sich statt als zeitabhängige Änderung auch als Funktion im Frequenzraum betrachten. Die mathematische Transformation nennt man Fouriertransformation. Der Informationsgehalt bleibt dabei erhalten, daher lässt sich aus einem Frequenzspektrum durch Rücktransformation die entsprechende zeitabhängige Schwingung rekonstruieren. Hintergrund dieser Überlegung ist, dass sich jede Schwingung durch eine additive Überlagerung (Superposition) von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz darstellen lässt. Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen nennt man Schwebung.

Anregung

Freie Schwingungen Freie Schwingungen führt ein schwingfähiges System aus, das – nach einer Störung/Auslenkung sich selbst überlassen – je nach Dämpfung oszillierend oder „kriechend“ in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt (siehe oben). Die Frequenz der freien Schwingung ist die Eigenfrequenz des Schwingers. Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

Erzwungene Schwingungen

Erzwungene Schwingungen führt ein Schwinger aus, der durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregt (gezwungen) wird. Praktisch bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und darunter die harmonische, sinusförmige Erregung. Die Frequenz der periodischen Erregung wird als Erregerfrequenz bezeichnet. Es gibt auch mehrfrequente Erregungen oder Erregungen durch Zufallsprozesse.

Im Falle der harmonischen Erregung führt ein lineares System im Allgemeinen zwei Schwingungen gleichzeitig aus: die freie Schwingung (mit der Eigenfrequenz bzw. mehreren Eigenfrequenzen), deren Größe von den Anfangsbedingungen abhängt und die durch die stets vorhandene Dämpfung während der Einschwingzeit abklingt, und die erzwungene Schwingung mit der Erregerfrequenz bei konstanter Anregungsstärke. Die Amplitude dieser Schwingung ist nach Beendigung des Einschwingvorgangs konstant. Das Verhältnis zwischen der Amplitude und der Stärke der Erregung wird durch die Vergrößerungsfunktion quantifiziert.

In der Technischen Mechanik sind die wichtigsten Erregungsmechanismen die Wegerregung, die Krafterregung und die Unwuchterregung (siehe Vergrößerungsfunktion).

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung nimmt im Falle der Resonanz ein Maximum an. Bei fehlender Dämpfung und Gleichheit von (einer) Erregerfrequenz und (einer) Eigenfrequenz wird die Amplitude unendlich. Mit wachsendem Dämpfungswert verschiebt sich die Resonanzstelle geringfügig und die Resonanzamplitude nimmt ab.

Selbsterregte Schwingungen Schwingungssysteme, bei denen die Energiezufuhr durch ein geeignetes Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird, führen selbsterregte Schwingungen aus und werden Oszillator genannt. In den Differentialgleichungen wirkt sich diese Erscheinung so aus, dass der Dämpfungswert Null wird. Ein typisches Beispiel im Bereich der Mechanik sind die Schwingungen der Saiten einer Violine. Diese werden dadurch verursacht, dass die Haftreibung zwischen Bogen und Saite größer ist als die Gleitreibung und die Gleitreibung mit wachsender Differenzgeschwindigkeit noch abnimmt. Weitere Beispiele sind das Tönen von Gläsern durch Reiben des Randes und elektronische Taktgeber (Oszillatorschaltung).

Selbsterregte Schwingungen nehmen in der Amplitude zu, bis die überproportional mit der Amplitude zunehmende Dämpfung die Energieeinkopplung kompensiert oder das schwingende System zerstört wird.

Parametererregte Schwingungen

Eine parametererregte Schwingung tritt dann auf, wenn sich Parameter des Schwingungssystems (Trägheitsgrößen, Dämpfungswerte oder Federkonstanten) periodisch ändern, z. B. beim Schaukeln.

Lineare und nichtlineare Schwingungen