mini|Die ersten 100 Werte für Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.
Sei die -te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen gilt:
Unter Verwendung der -ten Primzahllücke lässt sie sich auch so formulieren:
Werte mini|Die ersten 500 Werte für . Es sei .
Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes , sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle mit wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigtTitu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 ()., der größte gefundene Wert war .
Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:
4 7 0,670873 30 113 0,639281 217 1327 0,463722 263 1669 0,292684 367 2477 0,260522 429 2971 0,256245 462 3271 0,244265 590 4297 0,228429 650 4831 0,215476 738 5591 0,213675 … 10655462 191912783 0,008950
Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.) wurden die Primzahlen bis getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.
Verallgemeinerung
Allgemeiner kann man etwa die Gleichung
betrachten und nach maximalem bzw. minimalem suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr Maximum trivialerweise bei , d. h.
Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei , d. h.
Dieses wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.
Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung
Außerdem wird vermutet, dass
Ähnliche Vermutung Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem und mindestens eine Primzahl existiert.
Literatur Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. ; vgl.: Perez
Weblinks
Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes
Einzelnachweise
Kategorie:Primzahl Andrica, Vermutung von