Der Algorithmus von Samuelson-Berkowitz (nach Paul A. Samuelson und S. Berkowitz) ist ein Verfahren, das für beliebige quadratische Eingabematrizen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von ermittelt, d. h. insbesondere auch die Determinante von . Im Gegensatz etwa zum Algorithmus von Faddejew-Leverrier sind die Voraussetzungen weniger restriktiv: Als Eingabe sind auch Matrizen zulässig, deren Einträge Elemente eines beliebigen kommutativen Rings mit Einselement sind, da das Verfahren völlig ohne Divisionen auskommt.
Notation und Idee des Verfahrens
Wir bezeichnen mit
die -Einheitsmatrix die -Submatrix von bestehend aus den ersten Zeilen und Spalten das charakteristische Polynom von , wobei der Zeilenvektor mit den Komponenten mit der Spaltenvektor mit den Komponenten mit
und betrachten folgende Partitionierung von :
Die grundlegende Idee des Verfahrens besteht darin, das charakteristische Polynom von rekursiv zu berechnen. Mit der obigen Notation gilt zunächst
wobei die Adjunkte von bezeichnet (Begründung: Entwicklung nach letzter Zeile mittels Entwicklungssatz von Laplace, vgl.Michael Soltys: Berkowitz's Algorithm and Clow Sequences, The Electronic Journal of Linear Algebra (ELA), , Volume 9, pp. 42-54, April 2002, Online-Version (PDF; 168 kB)).
Wenn man dies auf die Matrix überträgt, dann erhält man speziell für das charakteristische Polynom von :
Außerdem kann man leicht zeigen, dass sich die Adjunkte in (*) folgendermaßen schreiben lässt (siehe z. B.):
Hierin sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von .
Formel von Samuelson
Wir erhalten nun die gewünschte rekursive Darstellung für das charakteristische Polynom von (in der Literatur Formel von Samuelson genannt), indem wir die beiden obigen Beziehungen (*) und (**) zusammenfügen:
Verfahren von Samuelson-Berkowitz
Matrix-Vektor Schreibweise
Um einen effektiven und leichter lesbaren Algorithmus formulieren zu können, transferieren wir nun die Formel von Samuelson in Matrix-Schreibweise. Dazu ordnen wir einem Polynom vom Grad
den Koeffizientenvektor
sowie die folgende Toeplitz-Matrix (die zugleich eine untere Dreiecksmatrix ist) zu:
Genauer ist also der Eintrag an der Position von gegeben durch
Definiert man nun noch das Polynom durch
dann lässt sich die Formel von Samuelson in der folgenden kompakten Form darstellen (vgl.J. Abdeljaoued, The Berkowitz algorithm, Maple and computing the characteristic polynomial in an arbitrary commutative ring, MapleTech Vol. 4, No. 3, pp. 21-32, Birkhäuser Boston Basel Berlin, 1997 und Stuart J. Berkowitz: On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors, Information Processing Letters, 18, pp. 147-150, 1985, ):
Algebraische Top-Level Formulierung
Durch sukzessives Anwenden dieses Prinzips erhält man folgende zentrale Aussage (siehe und ):
Mit , also
gilt:
Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von für sind gegeben durch:
Insbesondere erhalten wir, falls , die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von durch:
Algorithmus
Damit kann man nun folgenden Algorithmus formulieren (vgl.G. Nakos and Robert M. Williams: A Fast Computation of the Characteristic polynomial, Mathematica in Education and Research, Vol. 9, No. 1, 2000 ):
Der Algorithmus berechnet nicht nur die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von , sondern darüber hinaus auch in jedem Schleifendurchlauf für die Untermatrix .
Historisches
Die grundlegende Idee des Verfahrens wurde zuerst 1942 von Paul A. Samuelson beschrieben und publiziert.Paul A. Samuelson: A method for determining explicitly the characteristic equation, Annals of Mathematical Statistics, 13, S. 424–429, 1942, doi:10.1214/aoms/1177731540 Der Algorithmus in der oben präsentierten und heute gebräuchlichen Form geht auf Berkowitz (parallele Version) und Abdeljaoued (Beschreibung als serielles Verfahren) zurück, weswegen man manchmal auch die Bezeichnung Samuelson-Berkowitz-Abdeljaoued-Algorithmus (SBA-Algorithmus) in der Literatur findet.
Korrektheit des Algorithmus
Da im oben formulierten Verfahren nur endliche Schleifen auftreten, ist klar, dass der Algorithmus terminiert. Die partielle Korrektheit folgt aus der Formel von Samuelson und der daraus abgeleiteten algebraischen Top-Level-Formulierung in Matrix-Vektor-Form (s. o., vgl. z. B.). Genauer gesprochen beruht die Korrektheit auf folgender Schleifeninvariante: Am Ende des -ten Schleifendurchlaufs enthält der Vektor die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von (Formulierung als Nachbedingung).
Aufwand, Effizienz und Parallelisierbarkeit
Man kann zeigen, dass der Aufwand (Zeitkomplexität) des Algorithmus die Größenordnung hat. Eine genauere Schranke ist gegeben durch die Anzahl der arithmetischen Operationen . Bei der Implementierung des Verfahrens kann man zudem ausnutzen, dass es für die Multiplikation von Toeplitz-Matrizen effektive Methoden gibt. Der Algorithmus lässt sich auch sehr gut parallelisieren, genaueres dazu findet man speziell in .
Numerisches Beispiel
Wir betrachten die Matrix
Wir starten die Rekursion mit den charakteristischen Polynom der Matrix , für das gilt, d. h.
Wir berechnen nun . Hierzu benötigen wir zunächst die Koeffizienten von :
Also
Hieraus resultiert nun die Toeplitz-Matrix
und damit
Das charakteristische Polynom von lautet also : Wir ermitteln die Koeffizienten von :
Also
und
Damit erhalten wir
Das charakteristische Polynom von lautet daher : Wir ermitteln die Koeffizienten von :
Also
und
Die finale Matrix-Vektor-Multiplikation liefert nun die Koeffizienten des gesuchten charakteristischen Polynoms der gesamten Matrix :
Hieraus liest man das gesuchte Endergebnis ab:
Insbesondere erhält man also für die Determinante von
Literatur
J. Abdeljaoued, The Berkowitz algorithm, Maple and computing the characteristic polynomial in an arbitrary commutative ring, MapleTech Vol. 4, No. 3, pp. 21-32, Birkhäuser Boston Basel Berlin, 1997 Stuart J. Berkowitz: On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors, Information Processing Letters, 18, pp. 147-150, 1985, G. Nakos and Robert M. Williams: A Fast Computation of the Characteristic polynomial, Mathematica in Education and Research, Vol. 9, No. 1, 2000 Paul A. Samuelson: A method for determining explicitly the characteristic equation, Annals of Mathematical Statistics, 13, pp. 424-429, 1942, Günter Rote: Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches , in: Computational Discrete Mathematics, Editor: Helmut Alt, Lecture Notes in Computer Science 2122, Springer-Verlag, 2001, pp. 119-135, Online-Version (PDF; 250 kB) Michael Soltys: Berkowitz's Algorithm and Clow Sequences, The Electronic Journal of Linear Algebra (ELA), , Volume 9, pp. 42-54, April 2002, Online-Version (PDF; 168 kB) Einzelnachweise
Samuelson Berkowitz Kategorie:Numerische lineare Algebra