WürfelDatei:120px-Hexahedron-slowturn.gif Art der SeitenflächenQuadrate Anzahl der Flächen6 Anzahl der Ecken8 Anzahl der Kanten12 Schläfli-Symbol{4,3} dual zuOktaeder Körpernetz80px Anzahl verschiedener Netze11 Anzahl Kanten in einer Ecke3 Anzahl Ecken einer Fläche4
Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein dreidimensionales Polyeder (Vielflächner) mit
6 kongruenten Quadraten als Seitenflächen 12 gleich langen Kanten und 8 Ecken, in denen jeweils drei Seitenflächen zusammentreffen.
Der Würfel ist ein spezielles dreidimensionales Parallelepiped, ein spezieller, nämlich gleichseitiger Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größen eines Würfels werden bereits durch die Angabe eines Wertes, Kantenlänge, Flächendiagonale, Raumdiagonale, Oberflächeninhalt oder Volumen, festgelegt.
Symmetrie mini|hochkant=1.5|Würfel in Kabinettprojektion (Dimetrie) mit Beispielen der Drehachsen und der Spiegelebenen (rot bzw. grün) Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polyeder. Er hat 3 vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen), 4 dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken), 6 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten), 9 Spiegelebenen (6 Ebenen durch jeweils vier Ecken (z. B. grün), 3 Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte (z. B. rot)), 14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten) und ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.
Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als , in der Notation von Hermann / Mauguin als oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaedergruppe bzw. Würfelgruppe.
Konstruktion mini|hochkant=1.8|Würfel (Hexaeder), Konstruktionsskizze Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 15, die Konstruktion des Würfels.
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärische Darstellung nur die Schritte, die für den Würfel vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS).
Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der und Achsen eines kartesischen Koordinatensystems ergeben sich die Punkte und auf der Oberfläche der Umkugel.
Vorab ist aus einem rechtwinkligen Dreieck die Kantenlänge des Würfels zu ermitteln. Hierzu wird zuerst der Umkreisbogen eingezeichnet. Das anschließend konstruierte rechtwinklige Dreieck liefert mit der Kathete als Hypotenuse die Kantenlänge des Würfels.Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 23
Die eigentliche Konstruktion des Würfels beginnt mit dem Einzeichnen des Inkreises des Würfels um Mittelpunkt mit Radius und Richtung Achse. Die Schnittpunkte sind und . Eine Parallele zur Achse durch Punkt und eine Parallele zur Achse durch Punkt schneiden sich in . Es folgt der Kreis um mit Richtung parallel zur Achse. Die sich anschließende Parallele zur Achse durch erzeugt die beiden ersten Eckpunkte und . Mit der Verbindung dieser beiden Punkte ergibt sich die erste Kante des Würfels.
Es geht weiter mit dem Kreis um mit Richtung parallel zur Achse und der darauffolgenden Parallelen zur Achse durch . Durch Verbinden des so entstandenen Schnittpunktes entsteht die nächste Kante . Eine Parallele zu durch und eine weitere Parallele zu durch vervollständigt die Vorderseite des entstehenden Würfels. Zieht man nun eine Parallele zur Achse durch ergibt sich mit dem Schnittpunkt die Kante . Mithilfe sechs weiterer Parallelen zu den betreffenden Kanten erhält man die noch fehlenden drei Eckpunkte und für den fertigen Würfel .
Beziehungen zu anderen Polyedern mini|Würfel mit dualem Oktaeder. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders. Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder und umgekehrt. Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteres reguläres Polyeder bilden.
Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
den Hexaederstumpf bzw. den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken den Oktaederstumpf bzw. das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken
als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und
das Rhombendodekaeder mit 6 + 8 = 14 Ecken und 12 Rauten als Seiten
als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.
Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.
Formeln
Größen eines Würfels mit Kantenlänge a Volumen 350px ohne eingetragene Winkel Mantelfläche Oberflächeninhalt Umkugelradius Kantenkugelradius Inkugelradius Raumdiagonale Flächendiagonale Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen Winkel zwischenbenachbarten Flächen/Kanten Raumwinkel in den Ecken Sphärizität
Raumwinkel in den Ecken rechts|mini|hochkant=1.3|Raumwinkel am Mittelpunkt (= 0-Punkt) der Einheitskugel () Dieser Raumwinkel ergibt sich sehr einfach aus der Betrachtung folgender Gegebenheit.
Für den dreidimensionalen Raum wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, das den Raum in 8 Oktanten einteilt. Darin ist der 0-Punkt der drei Koordinatenebenen (x, y, z) der Treffpunkt 8 virtueller Würfel. Mit dem 0-Punkt als Mittelpunkt der Einheitskugel, hat der Raumwinkel (Vollwinkel) den Wert Betrachtet man vom 0-Punkt ausgehend nur 1 Würfel, so ist folglich sein Raumwinkel Umgeformt und mit einer Maßeinheit bezeichnet gilt
Definition als Menge von Punkten Der Würfel kann als Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert werden, wo die absoluten Beträge der 3 Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie der Inkugelradius . Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als
Dabei ist die Maximumsnorm oder Unendlich-Norm des Vektors . Für das Innere des Würfels gilt und für die Oberfläche gilt . Nach dieser Definition ist der Mittelpunkt des Würfels der Koordinatenursprung und seine Kanten und Seitenflächen verlaufen parallel zu den 3 Achsen des kartesischen Koordinatensystems.
Allgemeiner kann ein Würfel, der eine beliebige Lage im dreidimensionalen euklidischen Raum hat, mithilfe von Vektoren definiert werden. Ist der Ortsvektor des Mittelpunkts und sind , , orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Würfel mit den Mittelpunkten von 3 Seitenflächen verbinden, also Normalenvektoren der 3 Seitenflächen sind und ein Orthogonalsystem des dreidimensionalen Vektorraums bilden, dann lässt sich die Menge der Punkte des Würfels definieren als die Menge der VektorenSusumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane
Verallgemeinerung Auch die Verallgemeinerungen des Würfels in beliebiger Dimension werden als -dimensionale Würfel oder Hyperwürfel bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der -dimensionale Würfel hat begrenzende Seiten der Dimension . Spezialfälle: Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke. Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken. Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken und 4 Kanten Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel. Der -dimensionale Hyperwürfel hat Ecken () Kanten () Quadrate als Flächen () Würfel als Volumen () Hyperwürfel der Dimension als Facetten ().
Ein Modell für den -dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel im Vektorraum . Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel
, das -fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls die konvexe Hülle der Eckpunkte mit den Koordinaten und der Durchschnitt der Halbräume und
Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im , die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Basic properties of convex polytopes
Netze des Würfels Der Würfel hat elf Netze (siehe Abbildung).Wolfram Demonstrations Project: All 11 Folding Nets of the Cube Diese sind bestimmte Hexominos. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, einen hohlen Würfel durch Aufschneiden von 7 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 5 Kanten verbinden jeweils die 6 Quadrate des Netzes. Um einen Würfel so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.
Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen Der Würfel hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Würfelgraphen entsprechen den Ecken des Würfel. mini|hochkant=1|Färbungen veranschaulichtWürfel umschreibt dualen Oktaeder
Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Bei dieser alternierenden Knotenfärbung wechselt die Farbe hin und her, wenn von einem Knoten zu einem benachbarten gegangen wird. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 2 ist. Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind (siehe Abbildung). Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).
Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Oktadergraph) mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Würfelgraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Oktadergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Oktadergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Würfels oder eine Färbung der Gebiete des Würfelgraphen nötig.
Die 7 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Würfelgraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Würfelnetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 6 Knoten und 5 Kanten und dem maximalen Knotengrad 4. Jede Fläche des Würfels wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, einige auch mehrfach.