Die Festigkeitslehre in der Technischen Mechanik
Die Festigkeitslehre ist ein Teilgebiet der technischen Mechanik. Ihre Hauptanwendungsgebiete sind Bauwesen (Baustatik) und Maschinenbau. Mit ihren Gesetzen wird untersucht, ob Bauwerke oder Maschinen die ihnen auferlegten Belastungen ertragen, d. h. nicht zu Bruch gehen oder sich nicht übermäßig verformen. Wegen des Einbezugs der Verformung wird oft der erweiterte Begriff Festigkeits- und Verformungslehre gebraucht.
Mit ihrer Hilfe werden die bei Belastung im Körper entstehenden Spannungen und die am Körper auftretenden Verformungen mit den zulässigen Werten verglichen. Die zulässigen Spannungen sind im Wesentlichen vom verwendeten Werkstoff und die zulässigen Verformungen vom Gebrauch der Bauteile vorgegeben.
Handelt es sich um elastische Verformungen, so wird neben Festigkeitslehre auch der Begriff Elastostatik gebraucht. Plastische Verformungen sind Gegenstand der Plastizitätstheorie.Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5.
mini|Spannungen werden in transparentem Polycarbonat durch polarisierende Doppelbrechung sichtbar
Geschichte Im Altertum und im Mittelalter bestimmten die Baumeister nach Tradition, Erfahrung und Intuition, welche Festigkeit Bauwerke und Maschinen haben sollten, damit sie weder versagten noch überdimensioniert wurden. Erste konkrete Versuche, wie sich unterschiedliche Materialien unter Einwirkung von Last verhalten, wurden von Galileo Galilei zu Beginn des 17. Jahrhunderts durchgeführt. Systematische und verlässliche Ergebnisse wurden ab etwa 1800 insbesondere von Claude Louis Marie Henri Navier, Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, Gabriel Lamé, Siméon Denis Poisson und Christian Otto Mohr erzielt. Die Namen dieser Wissenschaftler finden sich noch heute in nach ihnen benannten Begriffen der Festigkeitslehre wieder. Das Fachgebiet der Festigkeitslehre umfasst große Teile der Elastizitäts- und der Plastizitätstheorie, sowie das Kriechen (Viskosität) von Feststoffen. Die Festigkeitslehre findet heute insbesondere bei Berechnungen im Bauwesen sowie im Maschinenbau Anwendung.
Grundlagen Spannung
mini|Quader mit mechanischen Spannungen mini|hochkant|Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand
Mechanische Spannung (kurz: Spannung) und Verzerrung sind die beiden grundlegenden Größen der Festigkeitslehre. Die Festigkeitslehre beschäftigt sich hauptsächlich auf der Mikro- und Makroebene, wo in der Kontinuumsmechanik, streng genommen nur Spannungen vorliegen. Diese Spannungen werden auf Querschnittsebene zu resultierenden Kräften und Momente zusammengefasst, und interagiert hier mit der Baustatik. Die Festigkeitslehre beschäftigt sich auch damit, welche Spannungen im Querschnitt die Spannungsresultanten – diese werden in der Theorie I. Ordnung in der Baustatik mit den Schnittgrößen gleichgesetzt – hervorrufen. Hier sind insbesondere folgende Resultanten für die Baustatik interessant: Normalkraft , Querkraft , Biegemomente und Torsionsmoment . Die Verteilung dieser Belastungen im Inneren des Körpers wird durch die Spannung wiedergegeben. Der elementare Spannungsbegriff, Spannung gleich Kraft pro Fläche, wurde von Augustin-Louis Cauchy im Jahr 1822 geprägt.Bernd Markert: Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper. 2. Auflage. Institut für Allgemeine Mechanik Aachen, Aachen 2015.
Durch Normalkräfte oder Kraftkomponenten orthogonal zur betrachteten Fläche wird die Normalspannung eingeleitet. Somit folgt, dass die mittlere Spannung in Längsrichtung die Normalkraft je Querschnittsfläche ist.
Das Biegemoment hängt ebenso von den Spannungen in Längsrichtung ab: .
Querkräfte werden durch Schubspannung von Querschnitten aufgenommen. Bei Rechtecksquerschnitten mit einer Höhe h (in z-Richtung) und der x-Achse im Schwerpunkt, die in Hauptträgheitsachsen beansprucht werden, ist zu beachten, dass die Schubspannungen in der Elastizitätstheorie einen quadratischen Verlauf über den Querschnitt haben, da an der freien Oberfläche (im Allgemeinen) für die Schubspannungen gilt und aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors folgt, dass die Schubspannungen für Null sind.
Die obenstehenden Gleichungen, reichen nicht aus, um einen Querschnitt eindeutig zu bemessen, es gibt unendlich viele Querschnittkennwertkominationen (z. B. ). Des Weiteren sind auch Spannungkomponenten-Interaktionen auf Werkstoffebene (z. B. Vergleichsspannung) zu berücksichtigen; und man muss im Allgemeinen (sowohl in der Elastizitätstheorie als auch in der Plastizitätstheorie) für jede Faser des Werkstoffs nachweisen, dass bestimmte Festigkeitskriterien eingehalten werden.
Die Spannung ist genau genommen eine tensorielle Größe, sie wird um das zu verdeutlichen Spannungstensor genannt:
Auf der Hauptdiagonalen finden sich drei Normalspannungen. Die Spur des Spannungstensors ist vom Koordinatensystem Invariant. Die übrigen Elemente repräsentieren die Schubspannungen. Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors gibt es drei voneinander unabhängige Schubspannungen. Durch Hauptachsentransformation lässt sich jeder Spannungszustand in ein Koordinatensystem umrechnen, in dem alle Schubspannungen verschwinden (Eigenwert-/Eigenvektor-problem).
Ein grafisches Verfahren, um Hauptspannungen, ihre Richtungen und Hauptschubspannungen zu ermitteln, stellt der Mohrsche Spannungskreis dar.
Verzerrung mini|Definition der Verzerrung anhand eines infinitesimalen Linienelements. Links der unbelastete Referenzzustand, rechts der belastete Momentanzustand
In der Mechanik deformierbarer Körper geht mit jeder Spannung auf einen Körper eine Verzerrung – und somit eine Verformung – dieses Körpers einher. Der elementare Verzerrungsbegriff wird im AllgemeinenDeformation (mechanics) #Strain measures in der englischsprachigen Wikipedia als Verzerrung, d. h. als den Quotienten von Längenänderung zu Ursprungslänge verstanden:
Die Verzerrung ist ebenso wie die Spannung eine tensorielle Größe:
Da in der technischen Anwendung die betrachteten Verschiebungsableitungen (also Verzerrungen und Starrkörperrotationen) im Allgemeinen klein gegen 1 sind (), ist es üblich, den linearisierten Verzerrungstensor anstelle des Green-Lagrange’schen-Verzerrungstensors zu verwenden.
Die Hauptdiagonalelemente des linearen Verzerrungstensors beschreiben die Dehnung , definiert als die relative Längenänderung eines Linienelements .x=X+u, wobei X die Bezugskonfiguration (i. d. R. undeformiert) und x die Momantanlage(i. d. R. deformierte Lage) ist Die übrigen Elemente des Verzerrungstensors beschreiben die Scherung , definiert als der symmetrische halbe Anteil der Winkeländerung zweier ursprünglich orthogonaler Linienelemente im Schnittpunkt. Die Winkeländerung Deformation (mechanics) #Shear strain in der englischsprachigen Wikipedia entspricht den doppelten der Schubverzerrungkomponenten im Verzerrungstensor.
Spannungs-Dehnungs-Diagramm mini|Beispiel für ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm
Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm resultiert oftmalsMehrachsige Spannung-Dehnungs-Diagramme resultieren oftmals aus Theorien, Annahmen, Normen,… und sind nicht immer messtechnisch bestätigt oder sind z. B. rein fiktiv und liegen auf der sicheren Seite. aus Messdaten (z. B. eines Zugversuches) und stellt einen Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung her, indem auf der Abszisse die Dehnung und auf der Ordinate die Spannung (i. d. R. die Normalspannung) abgetragen wird. Für duktile Materialien lässt sich der funktionale Zusammenhang oftmalsViele Materialien zeigen viskose Eigenschaften. in einen linear-elastischen Bereich, in einen nichtlinear-elastischen Bereich und in einen plastischen Bereich unterteilen. Für die Festigkeitslehre ist je nach Werkstoff und Anwendung der linear-elastische Bereich ausreichend. Jedoch im Stahlbau, Betonbau sowie im Holzbau wird der elastische Bereich (außer in Sonderfällen) in einer statischen Berechnung verlassen. Im Holzbau und Betonbau werden die Verzerrungen im Allgemeinen linear über den Querschnitt angenommen (Bernoullische Annahmen), jedoch nimmt man bezüglich der Spannungsverteilung im Betonbau gemäß aktueller Normung ein plastisches Plateau (etwa Block-Verteilung oder Parabel-Rechteck-Verteilung) an. Im Stahlbau gibt es in der aktuellen Normung eine Querschnittsklassifizierung, welche festlegt, welche Verfahren zulässig sind,Klasse 1: Plastisch auf Querschnitts, als auch Systemebene Fließgelenk; Klasse 2: Plastisch auf Querschnitssebene, aber nicht auf Systemebene; Klasse 3: Elastisch; Klasse 4: Aufgrund von lokalen Beulen, elastische Rechnung nicht zulässig. wobei die im Bauwesen genormten Profile i. d. R. die höchste Klasse (nämlich die Klasse 1) erfüllen. Sie werden aber meistens – auf der sicheren Seite liegend – nur für Klasse 2 (Durchplastifizieren des Querschnittes, aber keine Rotationsfähigkeit angenommen) oder nur für Klasse 3 (elastisch) nachgewiesen.
Im linear-elastischen Bereich beschreibt der Graph eine Gerade; es gilt das verallgemeinerte Hookesche Gesetz . Hierbei ist der Elastizitätstensor. Die Elastizitätsmoduln können durch die Ultraschallprüfung bestimmt werden. Elastizitätsmoduln werden auch durch (ein- wie auch mehrachsige) Druck- oder Zugversuche im linear-elastischen Bereich bestimmt. Die Elastizitätsgrößen stellen wichtige Größen für die Auslegung von Körpern in der Festigkeitslehre dar.
Auf das Spannungs-Dehnungs-Diagramm Bezug nehmend, wird normalerweise die Fließspannung definiert. Versagenskriterien für (ein oder mehrachsige) Festigkeiten werden oft aus dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm definiert. Diese Festigkeiten finden Anwendung bei der Wahl des Werkstoffs für gegebene Anwendungen. So wird im Bauwesen häufig Stahlbeton eingesetzt, wobei hier in der statischen Berechnung i. d. R. dem Stahl ausschließlich Zugspannungen und dem Beton ausschließlich Druckspannungen zugeordnet werden.
Schubspannungs-Scherungs-Diagramm Das Schubspannungs-Scherungs-Diagramm resultiert oftmals aus den Messdaten der Beanspruchung einer Probe auf Schub. Im Schubspannungs-Scherungs-Diagramm wird auf der Abszisse die Scherung und auf der Ordinate die Schubspannung abgetragen. Im linear-elastischen Bereich verläuft der Graph des Schubspannungs-Scherungs-Diagramms linear. In der Festigkeitslehre gilt, im linear elastischen Bereich: . Die Proportionalitätskonstante ist der Schubmodul .
Thermisch begründete Spannungen Bei steigender Temperatur dehnt sich ein Werkstoff meist aus (Wärmedehnung), bei sinkender Temperatur zieht er sich zusammen. Dieser Zusammenhang lässt sich linearisieren und durch folgende Gleichungen modellieren:
und
.
Hierbei ist die Änderung der Temperatur der Wärmeausdehnungskoeffizient die Längenänderung eines Körpers seine Ursprungslänge.
Wird die Ausdehnung verhindert:
,
so folgt, dass die Verzerrung zufolge Spannung (Zwängung) gleich der negativen Tempteraturausdehnung ist:
.
Flächenträgheitsmoment
mini|hochkant|Tabelle von Flächenträgheitsmomenten aus dem Lexikon der gesamten Technik von 1904
Die Eigenschaften des Werkstoffs und die Geometrie eines Körpers nimmt Einfluss auf dessen Verhalten bei Belastung. Das Flächenträgheitsmoment ist ein rein geometrisches Maß für die Widerstandsfähigkeit eines Querschnitts durch einen Körper gegen Verformung durch Biegung und Torsion. Unterschieden werden das polare Flächenträgheitsmoment , die axialen Flächenträgheitsmomente und sowie die Deviationsmomente .
Das Flächenträgheitsmoment lässt sich darüber hinaus tensoriell auffassen; es gilt . Der Flächenträgheitstensor wird dabei mit bezeichnet, da bereits für die Identität verwendet wird.
Die Eigenwerte des Flächenträgheitstensors sind die Maxima des axialen Flächenträgheitsmoments in einem Schwerpunktsystem und werden Hauptträgheitsmomente genannt. Zur Bestimmung der Hauptträgheitsmomente können Transformationsbeziehungen verwendet werden.