mini|3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders (Animation) mini|Drahtgittermodell eines Deltoidalikositetraeders mini|Konstruktion des Deltoids am Rhombenkuboktaeder mini|Topologisch gleichwertig zum Deltoidalikositetraeder ist dieser dreifach geschnittene Würfel Das Deltoidalikositetraeder (auch Deltoidikositetraeder genannt) ist ein konvexes Ikositetraeder, also ein Polyeder mit 24 Seitenflächen, bei dem diese Flächen zueinander kongruente Deltoide sind. Es zählt zu den Catalanischen Körpern. Es ist der duale Körper zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.
In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) nur als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).
Entstehung Werden auf die 14 Begrenzungsflächen eines Kuboktaeders quadratische sowie dreieckige Pyramiden mit der Flankenlänge und aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Deltoidalikositetraeder, sofern und sind. Das einbeschriebene Kuboktaeder hat dabei die Kantenlänge (d. i. eine Diagonale des Drachenvierecks, s. u.). Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenkuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel (≈ 138° 7’ 5") gleich groß, und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Sei die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
Dieses spezielle (reguläre) Deltoidalikositetraeder ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger Achtecke (mit Kantenlänge ), die sich in ihren Ecken schneiden.
Weiterhin kann das Deltoidalikositetraeder als ein dreifach geschnittener „aufgeblähter“ Würfel angesehen werden, der mit seinen 24 quadratischen Begrenzungsflächen topologisch gleichwertig ist.
Verwandte Polyeder
Formeln für das reguläre Deltoidalikositetraeder Für das Deltoid 260px|mini|Größen im Deltoid – Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck, das auch ein Tangentenviereck darstellt, ist die Tatsache, dass 3 der insgesamt 4 Innenwinkel gleich groß sind.
Größen des Drachenvierecks Seitenverhältnis Flächeninhalt Inkreisradius 1. Diagonale 2. Diagonale Spitze Winkel (3) ≈ 81° 34′ 44″ Stumpfer Winkel (1) ≈ 115° 15′ 47″
Für das Polyeder mini|250px|Netz des Deltoidalikositetraeders
Größen eines regelmäßigen Deltoidikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b Volumen≈ 6,9a3 ≈ 14,91b3 Oberflächeninhalt≈ 18,36a2 ≈ 30,69b2 Inkugelradius Kantenkugelradius Flächenwinkel ≈ 138° 7′ 5″ 3D-Kantenwinkel = 135° Sphärizität ≈ 0,95456
Vorkommen In der Natur kristallisieren z. B. Leucit, Analcim und Spessartin bevorzugt in Form von Deltoidalikositetraedern. Auch bei anderen Mineralen der Granatgruppe oder beim Fluorit kommen Deltoidalikositetraeder als Kristallform vor. Das Deltoidalikositetraeder, das ist die Form {hll} (mit h>l), ist entweder eine spezielle Form der Kristallklasse mm, eine Grenzform des Pentagonikositetraeders in der Kristallklasse 432 oder eine Grenzform des Disdodekaeders in der Kristallklasse m.
Anmerkungen
Weblinks
Kategorie:Catalanischer Körper