Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:
Ist eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl
einen durch teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen
Zur Veranschaulichung einige Beispiele: der Zähler ist durch teilbar. der Zähler ist durch teilbar.
Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von
durch teilbar ist.Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz
die auch in der Form
geschrieben werden kann.
Wolstenholme-Primzahlen
Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch). Der Zähler von
ist durch teilbar. Der Zähler von
ist durch teilbar. Es gilt die Kongruenz
Es gilt die Kongruenz
Der Zähler der Bernoulli-Zahl ist durch teilbar.
Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben). und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch). Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa unterhalb (McIntosh 1995).Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).
Verwandter Begriff
Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe
für eine Primzahl , so ist der Zähler genau dann durch teilbar, wenn die stärkere Form
des Satzes von Euler-Fermat gilt.Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132). Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.
Geschichte
Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz
für jede Primzahl und jede natürliche Zahl
Charles Babbage bewies 1819Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen). die Kongruenz
für jede Primzahl
Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz
für jede Primzahl
Literatur
G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).
Weblinks The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Primzahl Wolstenholme