mini|Drahtgittermodell eines Hexakisoktaeders mini|Netz des Hexakisoktaeders Das Hexakisoktaeder (aus „sechsmal“ und Oktaeder „Achtflächner“) oder Disdyakisdodekaeder ( „zweimal“, „zweimal“ und Dodekaeder „Zwölfflächner“) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.
Entstehung Rhombendodekaeder als Basis Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge ) Pyramiden mit den Flankenlängen und aufgesetzt, entsteht ein Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:
Für den o. g. minimalen Wert von haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge übrig bleibt. Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten und entsteht, wenn ist. Nimmt den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen und . Überschreitet den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.
Kuboktaederstumpf als Basis mini|Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch
Formeln Im Folgenden bezeichne die jeweils längste Kante des Hexakisoktaeders ().
Regulär Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a Volumen Oberflächeninhalt Inkugelradius Kantenkugelradius Flächenwinkel ≈ 155° 4′ 56″ Sphärizität ≈ 0,96908 Größen des Dreiecks Flächeninhalt 2. Seitenlänge 3. Seitenlänge 1. Winkel ≈ 87° 12′ 7″ 2. Winkel ≈ 55° 1′ 29″ 3. Winkel ≈ 37° 46′ 24″
Rhombisch Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge ).
Allgemein Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a, b Volumen Oberflächeninhalt Pyramidenhöhe Inkugelradius Flächenwinkel (über Kante a) Flächenwinkel (über Kante b) Flächenwinkel (über Kante c) Größen des Dreiecks Flächeninhalt 3. Seitenlänge 1. Winkel 2. Winkel 3. Winkel
Speziell Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a Volumen Oberflächeninhalt Inkugelradius Flächenwinkel (ü. Kanten a, b)≈ 153° 6′ 4″ Flächenwinkel (ü. Kante c)≈ 161° 4′ 4″ Größen des Dreiecks Flächeninhalt 2. Seitenlänge 3. Seitenlänge 1. Winkel ≈ 87° 42′ 53″ 2. Winkel ≈ 55° 52′ 13″ 3. Winkel ≈ 36° 24′ 54″
Vorkommen Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als Kristallform vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen Kristallklasse mm. Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48).
Weblinks
3D-Animation eines Hexakisoktaeders im Mineralienatlas
Kategorie:Catalanischer Körper