Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.
Definition
Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:
Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:
Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.
Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:
Spezialfälle und spezielle Werte
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:
Der Polylogarithmus:
Die Legendresche Chi-Funktion:
Die Riemannsche ζ-Funktion:
Die Dirichletsche η-Funktion:
Die Dirichletsche Beta-Funktion:
Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
Ferner ist
mit der catalanschen Konstanten , der Glaisher-Kinkelin-Konstanten und der Apéry-Konstanten der Riemannschen Zeta-Funktion.
Weitere Formeln
Integraldarstellungen
Eine mögliche Integraldarstellung lautet
für
Das Kurvenintegral
mit darf die Punkte nicht enthalten.
Ferner ist
für und .
Ebenso ist
für .
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist
Sie gilt für alle und komplexe mit ; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.
Falls positiv und ganz ist, gilt
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
für unter Verwendung des Pochhammer-Symbol gegeben.
Im Grenzwert gilt .
Der Spezialfall hat folgende Reihe:
für .
Die asymptotische Entwicklung für ist gegeben durch
für und
wenn .
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
mit und .
Identitäten und weitere Formeln
Ferner gilt für die Integraldarstellung mit oder Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)
und
.
Literatur
Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: , L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453 M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series , J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196 Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online
Weblinks Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung) Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion