Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.
Definition Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:
Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus ausdrücken:
Die Reihendarstellungen entsprechen den geschlossenen Ausdrücken:
Für große strebt die Funktion gegen , d. h. .
Funktion für :
Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:
Folgende Ableitung hat diese Funktion:
Spezielle Werte
Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins Es gilt folgende Ableitung:
Deswegen gilt auch folgendes Integral:
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:
Exemplarisch eingesetzt wird der Wert in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:
Theorem für tangentielle Gegenstücke Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:
Beispielsweise gilt:
Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:
mit der imaginären Einheit , der Goldenen Zahl und der catalanschen Konstanten .
Spezialfälle und Verallgemeinerungen Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion
und die dirichletsche Beta-Funktion :
Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:
Die Legendresche Chi-2-Funktion ist das imaginäre Gegenstück zum Arkustangensintegral
Siehe auch Hurwitzsche Zeta-Funktion
Referenzen
Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.
Kategorie:Analytische Funktion