Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.
Definition Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante existiert, so dass
gilt. Dabei ist der (0,2)-Ricci-Tensor und für jedes Die pseudo-riemannsche Metrik heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.
Eigenschaften Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen von eigenständigem Interesse, da sie für und mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
Sei Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes eine Konstante (in Abhängigkeit von ) existiert, so dass
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante .
Die Definition der Einsteinmetrik ergibt sich aus der Aussage, dass eine Lösung der Lambdavakuumgleichungen
mit der kosmologischen Konstante und der Skalarkrümmung ist. Durch Spurbildung in der Gleichung erhält man
dabei bezeichnet die Dimension der Mannigfaltigkeit.
Literatur Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).
Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber