Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.
Die formale Definition für komplexe lautet
Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle
Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann
Analytische Fortsetzung
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen definiert ist. Bei liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.
Es gilt dann
unter Verwendung der Gammafunktion und der Digammafunktion .
Reihendarstellungen
Helmut Hasse fand 1930Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464. die Reihendarstellung
für und .
Laurent-Entwicklung Die Laurent-Entwicklung um lautet:
mit . sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:
für
Fourier-Reihe Die Fourier-Reihe lautet:
mit .https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
Integraldarstellung Die Integraldarstellung lautet
wobei und
Hurwitz-Formel
Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für und Sie lautet:
wobei
Dabei bezeichnet den Polylogarithmus.
Funktionalgleichung
Für alle und gilt
Werte
Nullstellen
Da sich für und die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.
Für diese hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.
Für und gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen mit einem positiv-reellen . Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale von Davenport und HeilbronnH. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185 bewiesen; für algebraische irrationale von Cassels.J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
Rationale Argumente
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen auf:Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
und
Ferner gilt
mit . Dabei werden und wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion definiert:
bzw.
Weitere
Es gilt (Auswahl):https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)
Ableitungen
Es gilt
mit sowie und https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/.
Die Ableitungen nach ergeben sich zu
für und https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/ unter Verwendung des Pochhammer-Symbol .
Beziehungen zu anderen Funktionen
Bernoulli-Polynome
Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion verallgemeinert die Bernoulli-Polynome :
Alternativ kann man sagen, dass
Für ergibt das
Jacobische Thetafunktion Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel:
Die Abel-Plana-Summenformel definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl für positive als auch für negative Werte :
Für alle positiven Werte stimmen die beiden Formeln für die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander überein.
Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten die Jacobische Thetafunktionhttp://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf auf diese Weise:
Basierend auf der nun genannten Abel-Plana-Definition für die Hurwitzsche Zetafunktion kann dann diese Identität für folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden:
In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion eingesetzt.
Für alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien und ist diese Formel gültig.
Beispielsweise gilt mit und :
Polygammafunktion
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen :
mit der Euler-Mascheroni-Konstanten .Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
Auftreten
Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.
In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian SchwingerJ. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679. vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.
Spezialfälle und Verallgemeinerungen
Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet , so dass
Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrücken:https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
mit
Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/
mit .
Literatur und Weblinks Jonathan Sondow, Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function auf MathWorld und in functions.wolfram.com (englisch) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4. (Siehe Paragraph 6.4.10) Victor S. Adamchik: Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. In: Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 100, 1998, S. 201–206. Necdet Batit: New inequalities for the Hurwitz zeta function (PDF; 115 kB). In: Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) Band 118, Nr. 4, November 2008, S. 495–503. Johan Andersson: Mean Value Properties of the Hurwitz Zeta Function. In: Math. Scand. Band 71, 1992, S. 295–300.
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Funktionentheorie