Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.
Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor. Für die basisfreie Konstruktion sei auf Tensorprodukt von Moduln verwiesen.
In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts
(für einen Vektorraum mit Dualraum , oft ) als gemischte Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Man spricht kurz von Tensoren vom Typ . So lassen sich lineare Abbildungen als Tensoren aus oder aber als Tensoren auf dem Dualraum interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ .
Tensorprodukt von Vektorräumen Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra, genauer: ein Anfangsobjekt (Synonyme: initiales Objekt, engl.: universally repelling object).Siehe Horst Schubert und Serge Lang. Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die multilinearen Abbildungen. Dies sind Abbildungen in linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von spricht man von (uni)linearen, bei von bilinearen, für von trilinearen, im allgemeinen Falle von -fach multilinearen Abbildungen. Für alles Folgende muss daher notwendig vorausgesetzt werden, dass der Grundkörper kommutativ ist, also kein Schiefkörper. (Der nicht-kommutative Fall wird im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen und darin speziell hier skizziert.)
Einführung: Anknüpfungspunkte zur Motivation Zur Erläuterung: Man mag die Situation mit der elementaren Situation für einen Körper vergleichen, der über sich selbst einen Vektorraum bildet und dessen Elemente also als Vektoren aufgefasst werden können: Eine unilineare, d. h. lineare Abbildung () ist eine Multiplikation mit einem Körperelement („Skalar“) , d. h.: . Bilineare Abbildungen sind Produkte zweier linearer Abbildungen und haben daher quadratische Ordnung: . Trilineare Abbildungen haben entsprechend kubische Ordnung, und allgemein sind -fach multilineare Abbildungen das Produkt von linearen Abbildungen. Das Tensorprodukt von Vektorräumen verallgemeinert diese Bildung: Allerdings müssen zu diesem Zweck – im Gegensatz zu der eben beschriebenen elementaren Situation – sowohl eine (-fach multilineare) „Multiplikation für Vektoren“ (zumal aus unterschiedlichen -Vektorräumen), nämlich das Tensorprodukt, als auch der Tensorproduktraum, in dem diese Produkte liegen, erst geschaffen werden. Dabei werden der Tensorproduktraum und das Tensorprodukt als ein universelles Objekt definiert, sodass jede multilineare Abbildung mit ihnen linear parametrisiert werden kann.
Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum der Dimension sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum ) bekannt: Das (innere) Skalarprodukt: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren () aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper . Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen Vektor, dessen Länge im -Dimensionalen das „vorzeichenbehaftete“ (da orientierte) Volumen des von Vektoren aufgespannten Hyperquaders misst, und der senkrecht (orthogonal) und in positiver Orientierung auf dem Hyperquader steht. Die Determinante misst (als Volumenform) im -Dimensionalen das – ebenfalls orientierte – Volumen des von Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also . Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das Spatprodukt (verallgemeinert ins -Dimensionale) vom Kreuzprodukt ableiten. Allgemeiner betrachtet ist klar, dass das -dimensionale Volumen eines von Vektoren aufgespannten Parallelotops im -dimensionalen Raum () linear von jedem einzelnen Vektor abhängt und verschwindet, sobald zwei Vektoren gleich sind, weil die Vektoren dann einen höchstens -dimensionalen Vektorraum aufspannen und das Parallelotop folglich kollabiert. Die Messung -dimensionaler Volumina ist also ein elementargeometrisches Beispiel einer alternierenden -stufigen Multilinearform und liefert daher bei einen antisymmetrischen Tensor. Hiermit im Zusammenhang stehen die Graßmann-Algebra und – bei weiterer Verallgemeinerung – die Clifford-Algebra. Die Determinante behandelt den Fall . Die duale Paarung hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum mit Werten im Grundkörper, also eine Bilinearform: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.
All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und das Tensorprodukt lässt sich als ein universeller Tensor verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben.
Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen , also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente () bei festgehaltenen übrigen Komponenten -linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über und wird mit bezeichnet. Es ist .
Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen () behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.
Sesquilinearität im komplexen Fall Für den komplexen Fall ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität meist die Sesquilinearität tritt, wie etwa im Falle hermitescher Sesquilinearformen, wie es positiv definite Skalarprodukte sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen antilinear oder semilinear: Dies bedeutet, dass die komplexe Konjugation als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen, siehe bspw. den Abschnitt zum Tensorprodukt von Hilbert-Räumen.
Gemischte Tensoren Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum oder aber seinem Dualraum . Dies führt (für den grundlegenden Fall ) zu dem in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ , der -fach kontravarianten und -fach kovarianten Tensoren (der Stufe ): . Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der Spannungstensoren, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch Kontinuumsmechanik, Trägheitstensor und Verzerrungstensor).
Tensoren mit besonderen Eigenschaften Unter den Tensoren gibt es solche mit weiteren speziellen Eigenschaften wie symmetrische Tensoren, alternierende Tensoren (siehe auch alternierende Multilinearformen, alternierende Matrizen bzw. antisymmetrische Tensoren und symmetrische und antisymmetrische Tensoren), insbesondere das Vektorprodukt (siehe auch im Kontext krummliniger Koordinaten), schiefsymmetrische Tensoren etc.
Verknüpfungen von Tensoren Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen auf ihnen und damit ihr Tensorprodukt bilden: Äußeres (siehe auch hier) und inneres Produkt sowie Tensorverjüngung (siehe auch Abschnitte zur Spurbildung und Verjüngung bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der Formelsammlung Tensoralgebra oder im Internet.Z. B. unter Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra auf wikibooks.org.
Einige Anwendungsgebiete In der Tensoranalysis werden Tensorfelder betrachtet. Sie kommen durch die Tangentialräume und Tensorbündel ins Spiel, hier befindet sich eine Formelsammlung dazu.
In der Theorie der Algebren wird das Konzept des Tensorprodukts genutzt, um Algebren zu konstruieren wie bspw.: die Tensoralgebra die Graßmann-Algebra die Clifford-Algebra
Das Tensorprodukt von Algebren spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von Azumaya-Algebren (d. h. zentraler einfacher endlichdimensionaler Algebren), worin sich Algebrentheorie und Zahlentheorie begegnen und den Satz von Skolem-Noether liefern sowie einen Beweis des Satzes von Wedderburn mit Hilfe der verschränkten Produkte (Faktorensystem) von Emmy Noether ermöglichen. Die Definition der Brauergruppe beruht auf der Verwendung des Tensorproduktes von Azumaya-Algebren.
Erinnerung an die (uni)lineare Algebra: Illustration am Beispiel N = 1 Der Fall ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum ist ein Modell für jeden -dimensionalen -Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition und die Definition für das bilineare Tensorprodukt als Induktionsschritt benutzt werden (siehe diesen Abschnitt), doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.
Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu und Vektorräume über dem Grundkörper mit den Basen bzw. . (Bei endlichen Dimensionen denke man sich und .) Jede Abbildung einer Menge (!) in den Vektorraum zerfällt in naheliegender Weise in die Summe von Komponentenabbildungen definiert durch , wobei die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen in die Summe der zugehörigen Linearformen .