In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.
Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt wird auch , oder geschrieben.
Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters
Definition
Für eine reelle Zahl wird das Hölder-Mittel der Zahlen zur Stufe definiert als
,
wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen verwendet wird.
Eine dazu passende Definition für ist
Eigenschaften
Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich , das heißt
Außerdem gilt
Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten um Null recht einfach in Beziehung:
In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.
Spezialfälle mini|hochkant= 1.5|Vier Mittelwerte zweier Werte a, b:H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel,A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel Mittels Wahl eines geeigneten Parameters ergeben sich die bekannten Mittelwerte:
Minimum Harmonisches Mittel Geometrisches Mittel Arithmetisches Mittel Quadratisches Mittel Kubisches Mittel Maximum
Weitere Verallgemeinerungen Gewichtetes Hölder-Mittel
Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten mit definieren als
wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel verwendet wird.
f-Mittel
Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel
Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu
bzw. gewichtet zu
Dabei ist eine Funktion von ; das Hölder-Mittel verwendet .
Weitere Beispiele: Sind die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren bis , so erhält man die mittlere Rendite als -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion . Sind die Alter von Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion ; dabei bedeutet die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ersetzt.
Siehe auch
Lehmer-Mittel Mittelwert Stolarsky-Mittel, Logarithmisches Mittel
Literatur Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0 P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265
Weblinks
Weighted Power Mean und Proof auf planetmath.org (engl.) Examples of Generalized Mean Juttas Mathe-Newsletter
Kategorie:Mittelwert