Die statistische Physik ist ein Zweig der Physik, der Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Beschreibung physikalischer Systeme verwendet. Damit kann die statistische Physik Aussagen über die Eigenschaften und das Verhalten eines großen zusammengesetzten Systems machen, ohne das Verhalten jedes seiner Teile im Einzelnen zu verfolgen. Typische Aussagen der statistischen Physik haben den Charakter von Wahrscheinlichkeiten, die aber mit steigender Anzahl der Teile des Systems immer mehr zu Gewissheiten werden.
Die statistische Physik beschäftigt sich hauptsächlich damit, das physikalische Verhalten von Vielteilchensystemen wie Festkörper, Flüssigkeiten und Gase aus den Eigenschaften der Atome und Moleküle heraus zu erklären. Anwendung finden ihre Methoden auch bei vielen Fragen anderer Natur- und Ingenieurwissenschaften wie Biologie, Chemie, Neurowissenschaft, Verfahrenstechnik, sowie in den Sozial-, Wirtschafts- und Sprachwissenschaften (siehe Soziophysik, Ökonophysik, Statistische Linguistik).
Die statistische Physik ist eine fundamentale physikalische Theorie. Sie geht für die Bewegung der einzelnen Teilchen von den einfachsten Gesetzen aus und kann mithilfe von wenigen zusätzlichen physikalischen Hypothesen u. a. die Gesetze der Thermodynamik ableiten und begründen, aber auch die statistischen Schwankungen um einen stationären Gleichgewichtszustand. Derzeit noch offene Fragen betreffen vor allem die irreversiblen Prozesse, etwa die Berechnung von Transportkoeffizienten aus mikroskopischen Eigenschaften.
Die statistische Mechanik und die statistische Quantenmechanik sind Teilgebiete der statistischen Physik.
Grundlagen Die Zustandssumme in verschiedenen thermodynamischen Ensembles ist häufig Ausgangspunkt zur Herleitung von Zustandsgleichungen und ist somit ein zentraler Bestandteil der statistischen Physik.
Allgemeines Statistische Zusammenhänge können in der Physik überall dort formuliert werden, wo bei einem Gesamtsystem eine beobachtbare physikalische Größe von den momentanen Zuständen vieler seiner Teilsysteme abhängig ist, diese aber nicht genauer bekannt sind. Beispielsweise sind in 1 Liter Wasser etwa Wassermoleküle enthalten. Um das Fließen von 1 Liter Wasser in einem Rohr zu beschreiben, wäre es unpraktikabel, die Wege aller Wassermoleküle einzeln auf atomarer Ebene verfolgen zu wollen. Es reicht aus, das Verhalten des Systems im Großen nachzuvollziehen.
Grundlegend ist der Ansatz, dass die Teilsysteme sich im Rahmen ihrer individuellen Möglichkeiten in beliebiger Weise verhalten können. Dabei könnte das Gesamtsystem im Prinzip auch eine bestimmte Kombination von makroskopischen Werten erhalten, die allen bisherigen Beobachtungen widerspricht; dies erweist sich aber als derartig unwahrscheinlich, dass man es vernünftigerweise ausschließen muss. Ein Beispiel wäre, dass sich in einem Liter Luft alle Moleküle spontan in einer Hälfte des Volumens versammeln, was sich im Durchschnitt einmal zeigen würde, wenn man nacheinander 10(1022) mal nachschaut.
Es ist bei solchen Systemen praktisch unmöglich, die momentanen Zustände aller Teilsysteme im Detail zu ermitteln, um daraus auf die Werte der beobachtbaren Größen oder das weitere Verhalten des Gesamtsystems zu schließen, zumal sich diese Zustände auch viel schneller verändern als die am Gesamtsystem beobachtbaren Größen. Es stellt sich heraus, dass Kenntnisse der Details aller Teilsysteme oft auch gar nicht benötigt werden, will man praktikable Aussagen über das Verhalten des Gesamtsystems gewinnen.
Auf der Grundlage weniger, allerdings nicht weiter beweisbarer Grundannahmen stellt die statistische Physik Begriffe und Methoden zur Verfügung, mit denen aus den bekannten Gesetzen für das Verhalten der Teilsysteme, bis hinab zu den einzelnen Teilchen oder Quanten, Aussagen über das System im Ganzen getroffen werden können.
Statistische Begründung der Thermodynamik Die Begriffe und Gesetze der klassischen Thermodynamik wurden im 18. und 19. Jahrhundert zunächst auf phänomenologischem Weg an makroskopischen Systemen gewonnen, vornehmlich an solchen im Zustand des Gleichgewichts oder nicht weit davon entfernt. Sie lassen sich mit der statistischen Physik heutzutage auf die Eigenschaften und das Verhalten ihrer kleinsten Teilchen (meist Atome oder Moleküle) zurückführen. Für jeden durch makroskopische Werte definierten Zustand des Systems – als Makrozustand bezeichnet – gibt es dabei immer sehr viele Möglichkeiten, den einzelnen Teilchen gerade solche Zustände zu geben, dass sie zusammen genommen die vorgegebenen makroskopischen Werte des Systems hervorbringen.Ausnahme: der Makrozustand am absoluten Minimum der Energie. Hier kann es sein, dass nur ein einziger Mikrozustand möglich ist. Die genaue Verteilung der Teilchen auf ihre einzelnen Zustände heißt Mikrozustand, und zu jedem Makrozustand gehört eine bestimmte Menge von Mikrozuständen. Da die Teilchen in Bewegung sind und systeminterne Wechselwirkungsprozesse durchmachen, bleibt im Allgemeinen kein Mikrozustand zeitlich erhalten. Er verändert sich mikroskopisch gesehen zwar deterministisch, das Ergebnis kann aber nur mit Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden. Wenn nun der Makrozustand ein zeitlich stabiler Gleichgewichtszustand des makroskopischen Systems sein soll, heißt das, dass der Mikrozustand nicht aus der Menge der zu diesem Makrozustand gehörigen Mikrozustände hinauswandert. Die thermodynamischen Zustandsgleichungen, also die Gesetze über den stabilen Gleichgewichtszustand eines makroskopischen Systems, können nun so hergeleitet werden: Man ermittelt zu einem fiktiv angenommenen Makrozustand des Systems die jeweilige Menge der zugehörigen Mikrozustände. Um den Gleichgewichtszustand zu erhalten, bestimmt man diese Menge für verschiedene Makrozustände und wählt darunter diejenige Menge aus, die sich als Ganzes im Laufe der Zeit durch die systeminternen Prozesse nicht, oder nur mit der minimal möglichen Wahrscheinlichkeit, ändert. Das Auswahlkriterium ist dabei denkbar einfach: Man wählt aus den verschiedenen denkbaren Makrozuständen denjenigen als Gleichgewichtszustand aus, zu dem die Menge der Mikrozustände die größte ist.
Bei einem beliebigen anderen Makrozustand, der kein Gleichgewichtszustand ist, führen die Veränderungen des Mikrozustands durch systeminterne Prozesse zu allmählichen Veränderungen von makroskopischen Größen, also auch zu anderen Makrozuständen. In solchem Fall kann die statistische Physik für viele physikalische Systeme erklären, warum diese makroskopische Veränderung als Relaxation in Richtung des Gleichgewichts verläuft und wie schnell sie vor sich geht.
Zusätzlich zeigt diese statistische Betrachtung, dass der Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts nur bei makroskopischer Betrachtung stabil ist, bei mikroskopischer Betrachtung aber im zeitlichen Ablauf Fluktuationen aufweisen muss. Diese Fluktuationen sind real, werden aber relativ gesehen immer unbedeutender, je größer das betrachtete System ist. Bei typischen makroskopischen Systemen sind sie um viele Größenordnungen geringer als die erreichbare Messgenauigkeit und daher für die meisten Anwendungsfälle der Thermodynamik irrelevant. Mit solchen Aussagen geht die statistische Physik über die klassische Thermodynamik hinaus und erlaubt, deren Geltungsbereich quantitativ einzugrenzen. Die Fluktuationen erklären etwa Erscheinungen wie die Kritische Opaleszenz und die schon seit Anfang des 19. Jahrhunderts bekannte Brownsche Bewegung. Genauere Messungen an solchen Fluktuationen wurden Anfang des 20. Jahrhunderts an mesoskopischen Systemen durchgeführt. Dass diese Messergebnisse auch quantitativ den Vorhersagen der statistischen Physik entsprachen, trug erheblich zu ihrem Durchbruch und damit der Akzeptanz der Atomhypothese bei. Es war auch die Betrachtung solcher Fluktuationen, durch die Max Planck zu seiner Strahlungsformel und Albert Einstein zur Lichtquantenhypothese geführt wurden, wodurch die Quantenphysik begründet wurde.
Grundannahmen der statistischen Behandlung Ausgangspunkt ist der Mikrozustand eines großen physikalischen Systems. Im Bereich der klassischen Physik ist er durch die Angabe der momentanen Orte und Impulse aller seiner Teilchen – also mikroskopisch – gegeben; im vieldimensionalen Phasenraum des Systems besetzt er einen einzigen Punkt. Gemäß der allgemeinen Darstellung im vorangehenden Abschnitt wird ein Maß für die Größe einer Teilmenge des Phasenraums benötigt. In der klassischen Physik bilden die Punkte der einzelnen Mikrozustände im Phasenraum ein Kontinuum. Da man die Punkte darin nicht abzählen kann, ist das nächstliegende Maß durch das Volumen der Teilmenge gegeben. Dazu teilt man den Phasenraum in gleich große Volumenelemente auf, die so klein sind, dass die darin enthaltenen Zustände einander sehr ähnlich sind, so dass man das ganze Volumenelement durch einen einzigen Zustand charakterisieren kann. Diese Volumenelemente heißen Phasenraumzelle.
Im Bereich der Quantenphysik ist der Mikrozustand durch einen reinen quantenmechanischen Zustand des Vielteilchensystems gegeben, wie er z. B. durch einen Projektionsoperator auf einen 1-dimensionalen Unterraum des Hilbertraums des gesamten Systems definiert ist oder durch einen normierten Vektor daraus repräsentiert wird. Der Hilbertraum ist hier auch der Phasenraum. Als Maß für eine Teilmenge von Zuständen dient (falls die Basis abzählbar ist) die Dimension des betreffenden Unterraums des Hilbertraums.
Im Laufe der Zeit wandert der Punkt bzw. der Zustandsvektor, der den momentanen Mikrozustand des Systems angibt, in dem Phasenraum umher, etwa weil Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen ständig variieren bzw. einzelne Teilchen von einem Energieniveau in ein anderes wechseln. Alle makroskopischen Variablen des Systems (wie Volumen, Energie, aber auch solche wie Massenmittelpunkt, dessen Geschwindigkeit etc.) sind aus den Daten des gerade vorliegenden Mikrozustands berechenbar (wenn diese denn vollständig bekannt wären). In einem Makrozustand des Systems, dem Ausgangspunkt der makroskopischen Thermodynamik, sind nur diese makroskopischen Werte gegeben. Ein Makrozustand – ob im Gleichgewicht oder nicht – wird durch eine bestimmte Menge vieler verschiedener Mikrozustände realisiert. Welcher von ihnen zu einem bestimmten Zeitpunkt vorliegt, wird als Zufall behandelt, denn es ist praktisch unmöglich, diesen vorher zu bestimmen. Um die Wahrscheinlichkeit für diese ganze Menge von Mikrozuständen berechnen zu können, ist nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundannahme zur a-priori-Wahrscheinlichkeit nötig, mit der ein bestimmter einzelner Mikrozustand vorliegt. Diese lautet:
Grundannahme zur a-priori-Wahrscheinlichkeit: In einem abgeschlossenen System haben alle erreichbaren Mikrozustände die gleiche a-priori-Wahrscheinlichkeit.
Bilden die Mikrozustände ein Kontinuum, wird diese Annahme nicht auf einen einzelnen Punkt des Phasenraums bezogen, sondern auf ein Volumenelement mit Mikrozuständen, die hinreichend genau zum selben Makrozustand gehören: Die a-priori-Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Größe des Volumenelements. Beweisen lässt sich diese Grundannahme nicht, aber mittels der von Boltzmann aufgestellten Ergodenhypothese verständlich machen: Es wird angenommen, dass für ein abgeschlossenes System der Punkt des jeweiligen Mikrozustands im Phasenraum des Systems in der Weise umherwandert, dass er jeden einzelnen Mikrozustand mit gleicher Häufigkeit erreicht (bzw. ihm beliebig nahe kommt). Die Wahl des Volumenelements als Maß für die Wahrscheinlichkeit bedeutet anschaulich, dass nicht nur die Mikrozustände, sondern auch ihre Trajektorien den Phasenraum mit konstanter Dichte füllen.