Der Begriff Differentialform (oft auch alternierende Differentialform genannt) geht auf den Mathematiker Élie Joseph Cartan zurück. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie. Sie erlauben eine koordinatenunabhängige Integration auf allgemeinen orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
Kontext Es sei
eine offene Teilmenge des oder eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. In jedem dieser Fälle gibt es den Begriff der differenzierbaren Funktion auf der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf werde mit bezeichnet; den Begriff des Tangentialraums an in einem Punkt den Begriff der Richtungsableitung für einen Tangentialvektor und eine differenzierbare Funktion den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf der Raum der Vektorfelder auf sei mit bezeichnet. Der Dualraum des Tangentialraums wird als Kotangentialraum bezeichnet.
Definition Differentialform Eine Differentialform vom Grad auf oder kurz -Form ist ein glatter Schnitt in der -ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von . In symbolischer Schreibweise bedeutet dies , wobei das Kotangentialbündel von , die -te äußere Potenz von und somit die Menge der glatten Schnitte von bezeichnet.
Dies bedeutet, dass jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Tangentialraum zugeordnet wird, und zwar so, dass für glatte Vektorfelder die Funktion
glatt, also beliebig oft differenzierbar, ist.
Alternativ dazu kann man eine -Form als eine alternierende, glatte multilineare Abbildung auffassen. Das bedeutet: ordnet Vektorfeldern eine Funktion zu, sodass
für und
gilt.
Alternative unter Rückgriff auf Tensorfelder: Eine -Form ist ein alternierendes, kovariantes Tensorfeld der Stufe .
Raum der Differentialformen Die Menge der -Formen auf bildet einen Vektorraum und wird mit bezeichnet. Weiterhin setzt man
Für endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ist diese Summe endlich, da für der Vektorraum der Nullvektorraum ist. Die Menge ist eine Algebra mit dem äußeren Produkt als Multiplikation und somit auch wieder ein Vektorraum. Aus topologischer Sicht ist dieser Raum auch eine Garbe.
Man kann als Element der äußeren Potenz auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d. h. das Produkt in der äußeren Algebra) Abbildungen
wobei durch
punktweise definiert ist.
Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, es gilt
dabei bezeichnet den Grad von d. h.: Ist eine -Form, so ist . Demnach ist das Produkt zweier Formen ungeraden Grades antikommutativ und in allen anderen Kombinationen kommutativ.
Beispiele Glatte Funktionen sind 0-Formen. Pfaffsche Formen sind 1-Formen.
Koordinatendarstellung Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei ein lokales Koordinatensystem (eine Karte). Dann ist
eine Basis von Dabei ist das totale Differential der -ten Koordinatenfunktion . Das heißt, ist diejenige Linearform auf , die den -ten Basisvektor der Basis auf 1 und alle anderen auf 0 abbildet.
Jede Differentialform hat auf jeder Karte eine eindeutige Darstellung
mit geeigneten differenzierbaren Funktionen
Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass für die Nullform die einzige Differentialform ist.
Äußere Ableitung
Die äußere Ableitung ist ein Operator, der einer -Differentialform eine -Differentialform zuordnet. Betrachtet man sie auf der Menge der -Differentialformen, also auf der Menge der glatten Funktionen, so entspricht die äußere Ableitung der üblichen Ableitung für Funktionen.
Definition Die äußere Ableitung einer -Form wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel
definiert; dabei ist ein Vektorfeld, die Lie-Ableitung und die Einsetzung von
Ist beispielsweise eine 1-Form, so ist
und
also
für Vektorfelder ; dabei bezeichnet die Lie-Klammer.
Die allgemeine Formel lautet
dabei bedeutet das Dach im Zeichen , dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.
Eigenschaften Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften: Die äußere Ableitung ist eine Antiderivation. Das heißt, ist -linear, und für gilt die Leibnizregel
Sei dann stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.
Die äußere Ableitung respektiert Einschränkungen. Es sei also offen und Dann gilt Man nennt die äußere Ableitung deshalb auch einen lokalen Operator.
Diese vier Eigenschaften charakterisieren die äußere Ableitung vollständig. Das heißt, man kann aus diesen Eigenschaften die obige Summenformel herleiten. Rechnet man mit der äußeren Ableitung, so bevorzugt man das Rechnen mit den Eigenschaften der Ableitung und vermeidet die obige Formel.
Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung Die äußere Ableitung einer Differentialform
in Koordinatendarstellung lautet
mit den totalen Differentialen der Koeffizientenfunktionen .
Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Identitäten
und
wichtig.
Beispiel Für gilt
Allgemein gilt für die äußere Ableitung einer 1-Form
Für bilden also die Koeffizienten der äußeren Ableitung einer 1-Form die Rotation des aus den Koeffizienten der 1-Form gebildeten Vektors.
Weitere Operationen auf Differentialformen Inneres Produkt Sei ein glattes Vektorfeld. Das innere Produkt ist eine lineare Abbildung
die durch
gegeben ist. Das heißt, das innere Produkt bildet eine -Form auf eine -Form ab, indem die Form an einem festen Vektorfeld ausgewertet wird. Diese Abbildung ist ein Analogon der Tensorverjüngung auf dem Raum der Differentialformen. Deshalb wird diese Operation im Englischen auch manchmal „contraction“ genannt.
Das innere Produkt ist eine Antiderivation. Das heißt, für und gilt die Leibnizregel
Außerdem gilt für das innere Produkt
Rücktransport (Pullback) von Differentialformen
thumb|Schema eines Pull-Back, ist das Kotangentialbündel der Mannigfaltigkeit und entsprechend für Ist eine glatte Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für die mittels zurückgeholte Form wie folgt definiert:
Dabei ist die durch induzierte Abbildung der Ableitungen, auch „push-forward“ genannt. Das Zurückziehen ist mit der äußeren Ableitung und dem äußeren Produkt verträglich:
(ausführlicher geschrieben: auf der linken Seite , auf der rechten Seite dagegen ) und
für alle
Insbesondere induziert eine Abbildung zwischen den De-Rham-Kohomologie-Gruppen (siehe unten)
wobei die Umkehr der Pfeilrichtung gegenüber zu beachten ist („pull-back“, „Kohomologie“ statt „Homologie“).
Duale Form und Stern-Operator
Betrachtet werden äußere Formen in einem -dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, sodass eine orthonormale Basis des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad in diesem -dimensionalen Raum duale Form ist eine -Form
Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge-)-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:
mit den 1-Formen . Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier und ist (zyklische Vertauschungen in ).
Das -Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum gegeben ist, denn lässt sich für zwei -Formen und als Volumenform schreiben und das Integral
liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine -Form wieder die -Form ergibt – bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine -Form in einem -dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur hat ( im euklidischen Raum, im Minkowski-Raum):
Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form die 2-Form ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diese 2-Form kann man mit Hilfe des -Operators nun auch formal direkt als 1-Form (rot-Vektor) schreiben: . Analog wird der -Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.
De-Rham-Kohomologie
Aus der graduierten Algebra kann zusammen mit der äußeren Ableitung ein Kokettenkomplex konstruiert werden. Aus diesem wird dann mit den üblichen Methoden der homologischen Algebra eine Kohomologie definiert. Georges de Rham konnte zeigen, dass diese nach ihm benannte Kohomologietheorie mit der singulären Kohomologie übereinstimmt. Um die De-Rham-Kohomologie zu definieren, werden zuerst die Begriffe der exakten und der geschlossenen Differentialform definiert:
Exakte und geschlossene Formen Eine -Form heißt geschlossen, wenn gilt; sie heißt exakt, wenn es eine -Form gibt, sodass gilt. Aufgrund der Formel ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist eine offene Überdeckung von so ist eine -Form genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von auf für jedes geschlossen ist.
Die De-Rham-Kohomologiegruppen Der Faktorraum (Menge aller geschlossenen -Formen auf ) (Menge aller exakten -Formen auf ) heißt -te De-Rham-Kohomologiegruppe Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von
Das Lemma von Poincaré
Das Lemma von Poincaré besagt, dass gilt für und Sterngebiete . Allgemeiner gilt die Aussage dieses Lemmas für zusammenziehbare offene Teilmengen des Der Beweis ist konstruktiv, d. h., es werden explizite Beispiele konstruiert, was für Anwendungen sehr wichtig ist. Man beachte, dass aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also für jedes
Ist geschlossen und exakt, so folgt
Entsprechendes gilt, falls exakt und geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen
Ein Beispiel aus der Elektrodynamik In der Elektrodynamik impliziert das Lemma von Poincaré, dass zu jedem Paar elektromagnetischer Felder, die zu einer zweistufigen alternierenden Differentialform in einem vierdimensionalen Minkowskiraum zusammengefasst werden können, eine einstufige Vektorpotentialform mit existiert, ein sogenanntes „Viererpotential“, siehe auch Vierervektor. Auch Strom- und Ladungsdichten können zu einem Vierervektor bzw. zu einer entsprechenden 3-Form zusammengefasst werden.
Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit (mit Metrik und Determinante der Metrik , wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes vorliegt, etwa für entsprechend der Definition des Linienelements ) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:
(die sogenannte Bianchi-Identität) und
mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form
z. B. mit der -Komponente des Vektors der magnetischen Induktion, und mit dem Strom (geschrieben als 3-Form)
Hierbei ist das Antisymmetrisierungssymbol (Levi-Civita-Symbol) und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indizes summiert (Einsteinsche Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit ersetzt durch ). Durch Anwendung des -Operators kann man den zweiten Satz der vier Maxwellgleichungen auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass und in der Elektrodynamik ganz unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen, die sich für ergeben, haben dagegen duale Symmetrie.